Derivadas

DERIVADA
PROF. LIC. MARIANA LASTRA
DERIVADA

Objetivos Específicos: Comprender y manejar estrategias para calcular la derivada de una función.
Contenidos:
Calcular la derivada de la función en un punto y en el intervalo. Calcular la derivada de algunas
funciones usuales. Calcular las derivadas de la suma, producto y cociente. Realizar ejercicios
aplicando la Regla de la cadena, Regla dela potencia. Determinar las derivadas de las funciones
exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Calcular las derivadas de orden n o sucesivas,
derivación implícita y explícita. Manejo de la Tabla de fórmulas fundamentales para la derivación.
INCREMENTOS

El incremento Δx (incremento de una variable x) es el aumento o la disminución que experimenta
la variable desde un valor x=x 0 a x=x1estado final de su campo de variación. Así pues el
diferencial o el incremento es la expresión Δx= x1 -x 0 entonces;
Δx+ x 0= x1
Si se da un incremento Δx a la variable x es decir pasa de x=x 0 a x= Δx+ x 0 la función y = f(x) se
verá incrementada en Δy = f(x1)
Δy = f(Δx+ x 0)- f(x 0 )
A partir del valor y =f(x0) se considera el cociente : Δy = incremento de y
Δx incremento de x
Recibe elnombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido
entre x=x 0 hasta x= Δx+ x 0
Ejemplo resuelto

Cuando x aumenta en Δx = 0,5 a partir de x 0 = 1
La función y= f(x) = x2+2x se incrementa en :
Δy = f(1+ 0.5)- f(1 )
Δy = f(1,5 2+2 . 1,5)- (12 +2. 1)
Δy = 5, 25 - 3
Δy= 2,25

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Por lo tanto en cociente incremental o elcociente de diferencias de y en el intervalo entre x = 1 y
x = 1,5 es Δy = 2,25 = 4,5
Δx 0,5
Resolver
Dada y = f(x)= x2+5x -8, hallar Δy y luego Δy/Δx cuando x varia de:
a) x 0 = 1 a Δx+ x 0= x1 = 1,2
b) x 0 = 1 a Δx+ x 0= x1 = 0,8
DERIVADA
La derivada de una función y = f(x) con respecto a x en un punto x = x0 se define por el limite
siguiente:
Lim
Δx

Δy = lim f(x0 + Δx) –f(x 0)
0 ΔxΔx 0
Δx

Ejemplo
Hallar la derivada de y = f(x) = x2 +3x con respecto a la variable x en un punto x = x 0 luego aplicar
la derivada en :
a) x 0 = 2
b) x 0 = -4
y0= f(x0)= (x 0)2+3x0
y0 + Δy= f(x0 + Δx)= (x0 + Δx)2 +3. (x0 + Δx)
= (x0 )2 +2 x0 . Δx +(Δx)2 + 3. x0 +3 Δx
Δy= f(x0 + Δx) –f(x 0)= 2x0 Δx + 3 Δx+( Δx)2

Δy = f(x0 + Δx) –f(x 0)

= 2x0 + 3+ Δx

La derivada en el punto x = x0 es :
Lim
Δx

Δy = lim f(x0 + Δx) –f(x 0) = 2x0 + 3
0 Δx Δx 0
Δx

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1.1. Tabla de derivada
Función

Derivadas

y=c

y' = 0

y = c.x

y' = c

y = xn

y' = n.xn-1

y = x-n

y’ = -1/(n.xn-1)

y = x½

y’ = 1/(2.x½)

y = xa/b

y' = a.x(a/b)-1/b

y = 1/x

y' = -1/x2

y = sen x

y' = cos x

y = cos x

y' = -sen x

y= tg x

y' = 1/cos2x

y = cotg x

y' = -1/sen2x

y = sec x

y' = sen x/cos2x

y = cosec x

y' = -cos x/sen2x

y = arcsen x

y' = 1/(1 - x2)½

y = arccos x

y' = -1/(1 - x2)½

y = arctg x

y' = 1/(1 + x2)

y = arccotg x

y' = -1/(1 + x2)

y = arcsec x

y' = 1/[x.(x2 -1)½]

y = arccosec x

y' = -1/[x.(x2 – 1)½]

y = ln x

y' = 1/x

y = logax

y' = 1/x.lna

y = ex

y' = ex

y = ax

y' = ax.ln a

y = xx

y' = xx.(ln x + 1)

y = eu

y’ = eu.u’

y = u.v

y' = u'.v + v'.u

y = u/v

y' = (u'.v - v'.u)/v2

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y = uv

y' = uv.(v'.lnu + v.u'/u)

y = lnuv

y’ = (v’.u.lnu - u’.v.lnv)/v.u.ln2u

1.2. Actividades propuestas para el Práctico Nº 2
1) Calcular utilizando la definición laderivada de las siguientes funciones:
a) f x   2 x
b) f x   2  x 2
c)

f x   x  5

3

d) f x   x
2) Hallar

f ' 2 

a)

f x   1  x 2
f ' 1  f ' 2 

b)

x2 , x  1 
f  x 

2 x  1, x  1

3) Utilizando la tabla de derivada calcular
a) f ( s)  s 2  sen2s
1
b) f t   t 2  5t  2
2
c)

f x  

cos 4 x  2
4

d) f x   tgx...