Derivadas
Páginas: 7 (1671 palabras)
Publicado: 1 de octubre de 2012
CAPITULO II:
DERIVADAS DE FUNCIONES
Interpretación Geométrica de la Derivada:
y
[pic]
[pic]x
Consideremos la curva [pic] y un punto fijo [pic] de dicha curva, sea [pic] la recta secante que pasa por [pic] y por [pic].
La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos [pic] y [pic] es:
[pic]
Si [pic] se acerca a [pic] resulta que [pic] se acerca a [pic], luego [pic] se acerca a 0, con lo cuál se está haciendo uso dellímite.
Por lo tanto cuando [pic] se acerca a [pic] la recta [pic] se transforma en [pic], lo cual indica que el ángulo [pic] tiende a convertirse en [pic] y:
[pic]se convertirá en [pic]
Luego la derivada de [pic] en [pic] es [pic] y representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto [pic].
Definición: (Derivada de una Función)
Sea [pic], si [pic], la derivada de[pic] con respecto al punto “[pic]” está definido por:
[pic]
Lo que es equivalente a:
[pic]
Notación:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:
a)[pic] b)[pic] c)[pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
a)[pic] b)[pic]
c)[pic] c)[pic]Derivadas Laterales
Definición.- (Derivada por la Izquierda)
Sea [pic]una función y [pic], [pic] es derivable por la izquierda, si existe el siguiente límite:
[pic] ó [pic]
Definición.- (Derivada por la Derecha)
Sea [pic]una función y [pic], [pic] es derivable por la derecha, si existe el siguiente límite:
[pic] ó [pic]
Ejemplos explicativos:
Calcularlas derivadas laterales de la funciones en los puntos dados:
1) [pic], en [pic]
2) [pic], en [pic]
3) [pic], en [pic]
4) [pic], en [pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
1)[pic], en [pic]
2) [pic], en [pic]
3) [pic], en [pic]
Reglas de derivación
1. [pic], k: constante 13.- [pic]
2. [pic]14.-[pic]
3. [pic] 15.- [pic]
4. [pic] 16.- [pic]
5. [pic] 17.- [pic]
6. [pic] 18.- [pic]
7. [pic] 19.- [pic]
8. [pic] 20.- [pic]
9. [pic] 21.- [pic]
10. [pic] 22.- [pic]
11. [pic] 23.- [pic]
Ejemplos explicativos:
Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar laderivada de:
1) [pic]
2) [pic],
3) [pic]
4) [pic]
5) [pic]
6) [pic]
Ejemplos para el aula:
Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar:
1)[pic], 9.- [pic]
2) [pic] 10.- [pic]
3) [pic] 11.- [pic]
4) [pic] 12.- [pic]
5) [pic] 13.- [pic]
6) [pic] 14.-[pic]
7) [pic] 15.-[pic]
8) [pic]DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
(Regla de la Cadena)
Sea: [pic] y [pic] dos funciones, tal que [pic]; si [pic] es derivable en [pic] y [pic] es derivable en [pic], entonces [pic] es derivable en [pic], y además:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic]8) [pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
1) [pic] 11) [pic]
2) [pic] 12) [pic]
3) [pic] 13) [pic]
4) [pic] 14) [pic]
5) [pic] 15) [pic]
6) [pic] 16) [pic]
7) [pic] 17) [pic]
8) [pic] 18) [pic]
9) [pic] 19) [pic]
10) [pic] 20) [pic]...
DERIVADAS DE FUNCIONES
Interpretación Geométrica de la Derivada:
y
[pic]
[pic]x
Consideremos la curva [pic] y un punto fijo [pic] de dicha curva, sea [pic] la recta secante que pasa por [pic] y por [pic].
La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos [pic] y [pic] es:
[pic]
Si [pic] se acerca a [pic] resulta que [pic] se acerca a [pic], luego [pic] se acerca a 0, con lo cuál se está haciendo uso dellímite.
Por lo tanto cuando [pic] se acerca a [pic] la recta [pic] se transforma en [pic], lo cual indica que el ángulo [pic] tiende a convertirse en [pic] y:
[pic]se convertirá en [pic]
Luego la derivada de [pic] en [pic] es [pic] y representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto [pic].
Definición: (Derivada de una Función)
Sea [pic], si [pic], la derivada de[pic] con respecto al punto “[pic]” está definido por:
[pic]
Lo que es equivalente a:
[pic]
Notación:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:
a)[pic] b)[pic] c)[pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
a)[pic] b)[pic]
c)[pic] c)[pic]Derivadas Laterales
Definición.- (Derivada por la Izquierda)
Sea [pic]una función y [pic], [pic] es derivable por la izquierda, si existe el siguiente límite:
[pic] ó [pic]
Definición.- (Derivada por la Derecha)
Sea [pic]una función y [pic], [pic] es derivable por la derecha, si existe el siguiente límite:
[pic] ó [pic]
Ejemplos explicativos:
Calcularlas derivadas laterales de la funciones en los puntos dados:
1) [pic], en [pic]
2) [pic], en [pic]
3) [pic], en [pic]
4) [pic], en [pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
1)[pic], en [pic]
2) [pic], en [pic]
3) [pic], en [pic]
Reglas de derivación
1. [pic], k: constante 13.- [pic]
2. [pic]14.-[pic]
3. [pic] 15.- [pic]
4. [pic] 16.- [pic]
5. [pic] 17.- [pic]
6. [pic] 18.- [pic]
7. [pic] 19.- [pic]
8. [pic] 20.- [pic]
9. [pic] 21.- [pic]
10. [pic] 22.- [pic]
11. [pic] 23.- [pic]
Ejemplos explicativos:
Utilizando las propiedades de las derivadas, hallar laderivada de:
1) [pic]
2) [pic],
3) [pic]
4) [pic]
5) [pic]
6) [pic]
Ejemplos para el aula:
Utilizando correctamente las reglas de derivación, derivar:
1)[pic], 9.- [pic]
2) [pic] 10.- [pic]
3) [pic] 11.- [pic]
4) [pic] 12.- [pic]
5) [pic] 13.- [pic]
6) [pic] 14.-[pic]
7) [pic] 15.-[pic]
8) [pic]DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
(Regla de la Cadena)
Sea: [pic] y [pic] dos funciones, tal que [pic]; si [pic] es derivable en [pic] y [pic] es derivable en [pic], entonces [pic] es derivable en [pic], y además:
[pic]
Ejemplos explicativos:
Usando la definición, hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) [pic] 6) [pic]
2) [pic] 7) [pic]
3) [pic]8) [pic]
4) [pic] 9) [pic]
5) [pic] 10) [pic]
Ejemplos para el aula:
Hallar la derivada de:
1) [pic] 11) [pic]
2) [pic] 12) [pic]
3) [pic] 13) [pic]
4) [pic] 14) [pic]
5) [pic] 15) [pic]
6) [pic] 16) [pic]
7) [pic] 17) [pic]
8) [pic] 18) [pic]
9) [pic] 19) [pic]
10) [pic] 20) [pic]...
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