Derivadas

1

CAPITULO 2

Derivada de una funci´n o
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´ a ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica o Escuela de Matem´tica a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr) a o

2
Cr´ditos e ´ Rosario Alvarez, 1984. Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, Marianela Abarca, Lisseth Angulo o y Walter Mora. Evelyn Ag¨ero. u WalterMora, Marieth Villalobos, Evelyn Ag¨ero. u escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa: o Edici´n LaTeX: o Edici´n y composici´n final: o o Gr´ficos: a Comentarios y correcciones:

Contents
2.1 Derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . o 2.1.2 La derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.3 Notaciones para la derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.4 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Teoremas sobre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Derivada de una funci´n compuesta (Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.7 Diferenciales. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 2.1.8 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9 Derivada de la funci´n logar´ o ıtmica . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.10 Derivada de la funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.11 Derivadas de la funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.12 Derivadas de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.13 Las funciones trigonom´tricasinversas y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.14 Funciones param´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.15 Funciones impl´ ıcitas y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.16 Teorema de Rolle (o teorema sobre las ra´ ıces de la derivada) . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.17 Teorema delvalor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) . . . . . . . . . . . . . . 2.1.18 Teorema de Gauchy del valor medio (o extensi´n del teorema del valor medio para derivadas) o 2.1.19 Regla de L’Hˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4 4 12 15 15 19 23 26 32 36 38 39 43 44 57 62 67 70 72 74

3

4

Cap´ ıtulo 2: Derivadas

2.1
2.1.1Derivada de una funci´n o
Introducci´n o

El problema de la tangente “Muchos de los problemas importantes del an´lisis matem´tico pueden transferirse o hacerse depender de un a a problema b´sico que ha sido de inter´s para los matem´ticos desde los griegos (alrededor de 300 − 200a.deJ.C). a e a Es ´ste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto espec´ e ıfico a ella. Esteproblema fue resuelto por m´todos especiales en un gran n´mero de ejemplos aislados a´n en la teme u u prana historia de las matem´ticas. Por ejemplo, es bastante f´cil resolver el problema si la curva es un c´ a a ırculo, y todo estudiante ha visto esta soluci´n en su geometr´ de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el o ıa tiempo de Isacc Newton (1642 − 1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz(1646 − 1716) que se dio un m´todo gene eral sistem´tico para obtener la soluci´n. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invenci´n del c´lculo. a o o a Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco inter´s a los no matem´ticos, el hecho es que las e a t´nicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran parte de la ciencia y la e tecnolog´...