DERIVADAS

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Para laderivación en cálculo, véase Derivada.
Para la técnica de análisis numérico, véase Derivación numérica.
Derivación.gif
La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar losespacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencialtal y como está estructurada actualmente.

Índice [ocultar]
1 Definición de derivación
1.1 Ejemplos de derivación
1.1.1 La derivada parcial
1.1.2 La derivada direccional
2 Definiciones
2.1Consecuencias
2.1.1 Propiedad de la derivación de una función localmente constante
2.1.1.1 Ejemplo
2.1.2 Propiedad de la derivación del producto con la función meseta
2.1.3 Propiedad
3Bibliografía
Definición de derivación[editar]
Sea M una variedad diferenciable y p∈M, llamaremos derivación en el punto p a

∀δp:F(M)⟶R aplicación R−lineal, es decir:
∀f,g∈F(M),∀λ∈R,
δp(g+f)=δp(g)+δp(f),δp(λf)=λδp(f).
y tal que δp(f⋅g)=δp(f)g|p+f|pδp(g), ∀f,g∈F(M), es decir, que cumple la regla de Leibniz.
Observación

F(M) es el conjunto de funciones diferenciables en M, y es un R−álgebraconmutativa, (es un R−espacio vectorial).
f|p es equivalente a f(p), es decir, f evaluado en el punto p.
Ejemplos de derivación[editar]
La derivada parcial[editar]
Sea M=Rn y p∈M, veamos que laaplicación siguiente es derivación:



∂⋅∂xi|p:F(M)f⟶↦R.∂f∂xi|p

Demostración:

Veamos primero que es R−lineal, es decir, que ∀f,g∈F(M)y∀λ∈R vemos que:
∂(f+g)∂xi|p=∂f∂xi|p+∂g∂xi|p,∂(λg)∂xi|p=λ∂g∂xi|p.
Veamos finalmente que es una derivación:
∂(f⋅g)∂xi|p=∂f∂xi|pg|p+f|p∂g∂xi|p.
Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.
La derivada direccional[editar]
Sea...