DERIVADAS

DERIVADAS Definicin de derivada La derivada de la funcin f en el punto xa, llamada f prima de a se denota por f(a), si existe, es el valor del limite Si f(a) es un nmero real, la funcin f es derivable en xa. Si f(a) no es un nmero real o el lmite no existe, la funcin f no es derivable en dicho punto. Ejemplo Calcular la derivada de f(x)x2 en x2 INCLUDEPICTUREhttp//portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-3e439599516b4a92a7e371d72f8ced6f.png MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE http//portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-9220513b53904a04885af2271eabe19f.png MERGEFORMATINET Tasa de variacin media Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso,obtenindose la siguiente tabla HYPERLINK http//portales.educared.net/wikiEducared/index.phptitleImagenTabla7.png o Imagentabla7.png INCLUDEPICTURE http//portales.educared.net/wikiEducared/images/7/7e/Tabla7.png MERGEFORMATINET En este caso, la posicin y, se puede ver como una funcin f, que depende del tiempo x es decir yf(x). La tasa de variacin media de la posicin en el intervalo de tiempo desde elinstante 9 al instante 13.4 es INCLUDEPICTURE http//portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-1f494d13e4b78563b6d5430a40c5b7cf.png MERGEFORMATINET En general, la tasa de variacin media de la funcin fen el intervaloab se define como el cociente INCLUDEPICTURE http//portales.educared.net/wikiEducared/images/math/math-b722df976577d7b82b8dfcf44f6559b2.png MERGEFORMATINET Esta tasapuede ser positiva (creciente), negativa (decreciente) o nula (constante). La tasa de variacin instantnea de la funcin f en el punto xa se obtiene, haciendo tender el punto b al punto a, en la tasa de variacin media de la funcin f en el intervalo ab por tanto, la tasa de variacin instantnea de la funcin f en el punto xa es que es precisamente la HYPERLINKhttp//portales.educared.net/wikiEducared/index.phptitleDefiniciC3B3n_de_derivada o Definicin de derivada derivada de la funcin f en el punto xa. (en este lmite consideramos bah) Utilizamos la derivada como la variacin de una funcin en un punto concreto, o en un instante de tiempo, por eso se considera h como un incremento muy pequeo. Ejemplos de uso en el clculo de la velocidad y de la aceleracin instantneas. Ejemplos de derivadasaplicando la definicin Hallar la tasa de variacin media de la funcin f(x)x21 en el intervalo 03 y la tasa de variacin instantnea en el punto x2. Intervalo aah luego f(ah)f(3)32110 y f(a)f(0)0211 Calculamos f(xh) sumando h a las x y respetando el exponente de la variable. f(xh)(xh)21x22xhh21, como nos piden en el punto x2, podemos sustituir directamente Funcin derivada y derivadas sucesivas Si fes una funcin derivable en el intervalo de nmeros reales (ab), la funcin derivada de f es la que a cada elemento x del intervalo (ab) le hace corresponder la HYPERLINK http//portales.educared.net/wikiEducared/index.phptitleDefiniciC3B3n_de_derivada o Definicin de derivada derivada de la funcin f en dicho punto. Esta funcin se designa por f(x). Una funcinf es derivable en el intervalo (ab) si loes en cada punto del intervalo. Llamamos derivada de segundo orden de f a la funcin derivada de f, esta funcin se denota por f, la funcin f es la derivada tercera de f y, en general, f(n) es la derivada n-sima de f(x) f(n) es la funcin derivada de f(n-1). Aplicando la frmula de la derivada podemos calcular la derivada de cualquier funcin. Por comodidad utilizamos la siguiente tabla resumen delas derivadas de las funciones ms usuales, que nos permite hacer lo mismo sin necesidad de recurrir a la definicin en cada caso. Ejemplos bsicos de aplicacin de la tabla Funcin constante f(x)k siendo k un nmero real, f(x)0 Funcin Identidad f(x)x f(x)1 Producto por una constante (a f(x)) a f(x) Potencial simple f(x)xa f(x) a xa-1 Aplicamos la Regla de la Cadena, desde la estructura ms...