Derivadas

DERIVADAS

1. Concepto de derivada
El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función
Y = f(x), el valor de la derivada en el punto x indica la variación relativa de la
función en un entorno de dicho punto. La definición de la derivada de la función
y=f(x), es:

lim
h →0

f ( x + h) − f ( x )
h

Por lo tanto, para que exista la derivada de una función en un punto,tiene
que existir ese límite. Cuando no existe este límite, se dice que la función no es
derivable en ese punto. Para que exista el límite de la definición de derivada
han de coincidir los límites laterales, es decir, a derecha e izquierda.
- Llamaremos derivada a la derecha del punto a y la representaremos por
f´(a+) al valor, si existe, del

- Llamaremos derivada a la izquierda del puntoa y la representaremos por
f´(a-) al valor, si existe, del

Ejemplo:
⎧ 2x
si → x ≠ 0
1
⎪
x
⎨2 + e
⎪
⎩0si → x = 0

2( x + h )
f ´(0 + ) = lim+
h →0

f `(0 − ) = lim−
h →0

1
( x+h )

−0

f ( 0 + h ) − f ( 0)
= lim+ 2 + e
h →0
h
h
f (0 + h) − f (0)
= lim−
h →0
h

2
2+e

1
( x+h)

= lim+
h →0

=

2
=1
2

2
2+e

1
( x+h )

=0

La derivada deuna función es uno de los dos conceptos centrales del
cálculo. La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral
indefinida.
La derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en
la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una
derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una
derivada es el cálculo de laspendientes instantáneas de f(x) en cada punto x.
Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de
dicha función en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por
una secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se
desea obtener la tangente. Las derivadas también pueden ser utilizadas para
calcular la concavidad.

La derivada de lafunción en el punto marcado
equivale a la pendiente de la recta tangente

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente
vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se
produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación
matemática entre dosobjetos.
Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están
estrechamente relacionadas
TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese
punto.
Hipótesis: Existe f'(a)
Tesis: f(x) es continua en x= a
Demostración:

Es importante notar que el recíproco no es válido; es decir que nada se puede
afirmar sobre la derivabilidad de una función continua. Un ejemplo claro deesta
situación es la función valor absoluto f(x)= |x| que si bien es continua en todo
su dominio no es derivable en x= 0

Casos en los que no hay derivada:
•
•
•

Punto anguloso : Ambas derivadas existen y son finitas, pero no
coinciden.
Punto de Inversión : Ambas derivadas laterales son + o - con el mismo
signo a la vez.
Punto de retroceso : Si son infinito pero con signo distinto.Ejemplo:
f(x) = |x-1| es continua pero no diferenciable en x = 1 porque contiene un
pico.

⎧( x − 1) → x − 1 ≥ 0
⎧( x − 1) → x ≥ 1
* f ( x) = ⎨
a⎨
⎩− ( x − 1) → x − 1 < 0 ⎩(− x + 1) → x < 1
f ´(0+ ) = lim+

[(x + h ) − 1] − [x − 1] = lim h = 1

f ´(0 + ) = lim+

[− (x + h ) + 1] − [− x + 1] = lim − h − 2 = −1

h→0

h→0

h→0+

h

h

h

h→0 +

h

2. Cocientediferencial de Newton

Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas
secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una
función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser
tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas
secantes. Cuando...