DERIVADAS

CAP´ITULO VI.
APLICACIONES DE LA
DERIVADA

SECCIONES
A. Crecimiento y decrecimiento. M´aximos y m´ınimos locales.
B. Concavidad. Puntos de inflexi´on.
C. Representaci´on gr´afica de funciones.
D. Problemas de m´aximos y m´ınimos.
E. Teoremas del valor medio. Regla de L’H¨opital.
F. Ejercicios propuestos.

205

´
A. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAXIMOS
Y M´
INIMOS LOCALES.

Losintervalos de crecimiento y decrecimiento de una funci´on y = f (x) se
obtienen a partir de la primera derivada de la funci´on por la siguiente regla:
(a) f crece en un intervalo (a, b) si f (x) > 0 para todo x en (a, b).
(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f (x) < 0 para todo x en (a, b).
Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada
son los m´aximos om´ınimos, seg´
un la derivada cambie de positiva a negativa
o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen:
(a) Un punto x0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´
aximo local o
relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f crece y otro intervalo
(x0 , x0 + δ) en donde f decrece.
(b) Un punto x0 del dominio de la funci´on corresponde a un m´ınimo local o
relativo si existeun intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f decrece y otro intervalo
(x0 , x0 + δ) en donde f crece.
Los m´aximos y m´ınimos locales se encuentran entre los llamados puntos
singulares o cr´ıticos, es decir, puntos del dominio de la funci´on en donde la
derivada se anula o no existe.

PROBLEMA 6.1.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´
on
√
f (x) = x( x + 1).
Soluci´
onCalculamos la derivada de la funci´on:
√
√
x
2x + 2 x + x
3x + 2 x
√
√
f (x) = x + 1 + √ =
=
.
2 x
2 x
2 x
√
√
La derivada se anula cuando 3x + 2 x = 0 y no existe cuando 2 x = 0.
Despejamos x en ambas ecuaciones:
√

√
√
4
3x + 2 x = 0 =⇒ 3x = −2 x =⇒ 9x2 = 4x =⇒ x = 0 ´o x = .
9
206

Como el valor x = 4/9 no verifica la primera ecuaci´on, el u
´nico valor que
anula f(x) es x = 0. Por otra parte,
√
2 x = 0 ⇐⇒ x = 0.
El u
´nico punto cr´ıtico es x = 0. Como el dominio de la funci´on es el intervalo
[0, ∞) y f (x) ≥ 0 en todo el dominio, la funci´on es siempre creciente. Por
tanto, el punto (0, 0) es el m´ınimo de la funci´on.

PROBLEMA 6.2.

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la funci´
on
f (x) =

x3 + 4
.
x2

Soluci´
on

De nuevocalculamos la derivada:
f (x) =

3x2 · x2 − (x3 + 4) · 2x
x4 − 8x
x3 − 8
=
=
.
4
4
x
x
x3

La derivada se anula cuando x3 − 8 = 0 y no existe cuando x3 = 0. Despejaremos x en ambas ecuaciones:
x3 − 8 = 0 ⇐⇒ x3 = 8 ⇐⇒ x = 2.
x3 = 0 ⇐⇒ x = 0.
Como el dominio de la funci´on es R \ {0}, el u
´nico punto cr´ıtico es x = 2.
Estudiamos el crecimiento en los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y(2, ∞). Para
ello, sustituimos la derivada de la funci´on en cualquier punto interior a los
intervalos. El signo de la derivada indicar´a si la funci´on original crece o
decrece. As´ı:
f (−1) = −9/ − 1 > 0 =⇒ la funci´on crece en (−∞, 0).
f (1) = −7/1 < 0 =⇒ la funci´on decrece en (0, 2).
f (3) = 19/27 > 0 =⇒ la funci´on crece en (2, ∞).
Un m´etodo m´as c´omodo por su claridad visualconsiste en representar el
dominio de la funci´on sobre la recta real. A continuaci´on, colocar en la
misma recta los puntos cr´ıticos. De esta manera quedan ya delimitados los
intervalos que se van a estudiar. Despu´es de sustituir en la derivada de la
207

funci´on alg´
un punto intermedio de cada intervalo, colocar el signo + ´o −
seg´
un si dicha derivada es positiva o negativa. As´ıquedan completamente
determinados los intervalos y el comportamiento de la funci´on en cada uno
de ellos. En este ejemplo hubiera quedado as´ı:
(−∞, 0) (0, 2) (2, ∞)
f (x)

++

––

++

PROBLEMA 6.3.

Encontrar los m´
aximos y m´ınimos locales de la funci´
on
f (x) = x5 − 5x + 6.
Soluci´
on

Busquemos los puntos cr´ıticos de la funci´on:
f (x) = 5x4 − 5; f (x) = 0 ⇐⇒ 5x4 = 5...