derivadas

Introducció a les matemàtiques
APLICACIONS DE LA DERIVADA

1. Calculeu les equacions de les rectes tangents a les funcions següents en el punt  = 3 :
(a)  () = 2 + 1

(b)  () = 4 − 3

(d)  () = ln (2) (e)  () =

(c)  () = 2−1

√
2 + 6 (f)  () = (2 − 7)2

2. Estudieu el creixement, decreixement i òptims de les funcions següents:
()  = 2 +
()  =

2
−22


()  =

4−12
(−2)2

( )  =  · 

()  =

2
−2

()  =  +

()  =
1
2

3
(1+)2

()  =  · ln 

3. Una empresa vol llançar un nou producte al mercat i per aquest motiu ha efectuat un
estudi de la seva demanda, obtenint que la funció de demanda és:
 = 3000 −


2

on  representa el nombre d’unitats venudes i  el seu preu de venda.L’esmentada empresa té uns costos fixos de 200.000 u.m. i uns costos variables de 60
u.m. per cada unitat del producte venuda.
Es demana:
(a) Determineu les funcions d’ingressos totals i de beneficis d’aquest producte.
(b) Calculeu el nivell de producció que maximitza el benefici anterior.
4*. Una empresa de rajoles i mosaics fabrica peces quadrades de diferents mides, a gust
del client. Sabem quecada peça té un cost fix de 693 u.m. i un cost variable que és
tres cops la superfície en cm2 de la peça desitjada.
L’empresa té per costum vendre cada peça en funció del seu perímetre (suma de les
longituds dels costats), essent el preu de venda de 60 u.m. per cm.
Es demana.
(a) Calculeu les mides de la peça que maximitzen el benefici unitari.
(b) Calculeu, si existeixen, quines no hauriende fabricar-se mai ja que generen pèrdues.
5*. La funció d’utilitat per a dos productes és  ( ) = 4 , on   representen el
nombre d’unitats consumides, respectivament, del primer i segon producte. El cost
unitari de cada producte és, respectivament, de 200 u.m. i 500 u.m. Si es disposa
de 5.000 u.m. a consumir totalment entre aquests dos productes, com s’hauria de
distribuir aquestes5.000 u.m. per a obtenir el màxim d’utilitat?

1

6*. Una companyia d’autobusos lloga un autobús de 60 places a grups de 30 o més persones. Si un grup conté exactament 30 persones, cada persona paga 60 . En grups
més grans, la tarifa de tots es redueix en un euro per cada persona que sobrepassi de
les 30. Determineu la dimensió del grup que maximitza els ingressos del lloguer del’autobús.
7*. Una empresa fabrica un producte que ven a un preu unitari de 70 u.m. En el procés
de fabricació té les següents despeses:
• Despeses de lloguer: 500 u.m./dia.


u.m. per unitat produïda (on  representa
4
el nombre d’unitats diàries produïdes).

• Despeses de matèries primeres: 20+
Es demana:

(a) Obteniu les funcions de costos totals, d’ingressos totals i de beneficis diaris.(b) Determineu el nombre d’unitats que caldria fabricar per a obtenir el màxim
benefici. Quin és el benefici òptim diari?
8*. Un fabricant ha estat venen components electrònics a 6 la unitat, a aquest preu, els
consumidors han estat comprant diàriament 6.000 components elèctrics. El fabricant
desitjaria elevar el preu i estima que cada euro d’increment en el preu unitari produirà
una baixadade vendes de 1.000 unitats. El fabricant pot produir el components
electrònics a un cost unitari de 4. Calculeu a quin preu ha de vendre el fabricant els
components electrònics per a generar el màxim benefici possible.
9*. Un productor de taronges de València té plantats en un camp 60 taronges amb una
producció mitja per arbre de 400 kg. S’estima que per cada arbre addicional que
planti enaquest camp la producció mitja per arbre decreixerà en 4 kg. Calculeu el
nombre d’arbres que s’haurien de plantar per a maximitzar la producció total.
10*. Una firma de plàstics ha rebut una comanda d’un ajuntament per fabricar 8.000
planxes de polietilè pel seu programa de natació de l’estiu. La firma posseeix 10
màquines idèntiques, que per produir aquestes planxes ha d’adaptar a un...