derivadas

Derivada de una función
1.- Una empresa hotelera tiene la función de costos totales:, donde x es el número de servicios vendidos de un año. Calcule la razón de cambio promedio y diga cuál es la interpretación económica de esta fracción.

 Solución



es el costo marginal (el costo adicional de producir una unidad más).



2.- Una empresario administra un estacionamiento en una zonaturística y va a decidir la tarifa que cobrará por hora. El número promedio de horas rentadas Q al día está expresado en función de la tarifa p por:
Determine la tarifa óptima que permitirá maximizar los ingresos diarios del estacionamiento y calcule el ingreso máximo.

Solución
Ingreso Y=Pq
Donde Q está dada por la función de demanda
Sustituyendo Q en la fórmula de ingreso.Calculamos en seguida por lo tanto Y tiene su máximo en
Cobrando una tarifa de $250 se lograría el ingreso máximo de:















3.- El costo anual de hacer los pedidos, de la compra y mantenimiento del inventario de cierta empresa está dado por la función:

donde Q es el tamaño del pedido y C es el costo anual.
Calcule la segunda derivada del costo, determine el signo de yen base a ello diga si la curva de costo es cóncava o convexa.
Solución
Conviene escribir la fórmula del costo de la forma siguiente:





Por lo tanto la curva de costo es convexa.

4.- Una empresa manufacturera tiene una función de beneficio (mensual):;donde x es el número de unidades producidas y vendidas al mes.
Calcule la razón de cambio promedio y de una interpretación económica deesta fracción.
Evalúe numéricamente la razón de cambio promedio en el punto x=160 con un incremento de una unidad adicional de producción (dx=1) y diga qué significado económico tiene el signo del resultado.

Solución
es el beneficio marginal promedio.

Cuando el nivel de producción inicial es de 160 unidades y el incremento de producción es de una unidad, el beneficio marginal es:El signo negativo del resultado indica que en el nivel de producción inicial de 160 se puede aumentar el beneficio de la empresa reduciendo la producción.











5.- Una empresa produce harina de pescado y tiene una función de beneficio (mensual): , donde x es el número de toneladas producidas y vendidas al mes.
Calcule la razón de cambio puntual y dé una interpretación económicade esta derivada.
Obtenga el nivel óptimo de producción x en el cual se alcanza el beneficio máximo y calcule el beneficio máximo.

Solución
Al simplificar la fórmula del beneficio se obtiene:
es el beneficio marginal de la empresa.

Para encontrar el nivel óptimo que maximice el beneficio igualamos a cero el beneficio marginal y despejamos



Además, por lo tanto el beneficiotiene su valor máximo en .
Sustituyendo en la fórmula del beneficio:
Beneficio máximo=61.25

6.- La oferta de maíz en cierta economía esta expresada enfunción del precio por: Calcule las derivadas primera y segunda de la oferta, determine sus signos e indique si la curva de oferta es creciente o decreciente, cóncava o convexa.

Solución

por lo tanto la curva de oferta es creciente ycóncava.


7.- La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) + 3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10 unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o inestabilidad de precio.
Solución: El precio p(t) está determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,
48 - 2p(t) +3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18
Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da como resultado: p(t) = 6 + 4e
De este resultado vemos que, sí t", p=6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.
8.- Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 + 2P, D = 120 - 3P,...