derivadas

Las Tangencias
Dos elementos son tangentes cuando tienen un punto en común denominado punto de
tangencia. Estos elementos son circunferencias (o arcos de circunferencia, en algunos casos
curvas conicas también) y rectas.
Un enlace es la unión armónica de curvas con curvas o curvas con rectas. Los enlaces
son la aplicación práctica de las tangencias.

Propiedades fundamentales de lastangencias

1- Los centros de dos circunferencias
tangentes entre sí están alineados
con el punto de tangencia.

2- Una recta tangente a una circunferencia es siempre perpendicular al radio correspondiente
al punto de tangencia.

3- El centro de cualquier
circunferencia que pasa por
dos puntos se encuentra en la
mediatriz del segmento que
definen los dos puntos.Todo
radio perpendicular auna
cuerda de circunferencia divide
a esta en dos mitades iguales.
4- El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del
ángulo que estas producen.

Las tangencias: definición y propiedades

Tangencias: Teoremas fundamentales y lugares geométricos
1º Centros alineados
con el punto de tangencia

2º Radio perpendicular a
recta tg. por el puntode tg.

3º Centros de cir. que
pasan por dos ptos. en
mediatriz

4º Centros de cir. tg. a dos
rectas. en bisectriz

Conociendo los cuatro teoremas
fundamentales de las tangencias aun no
sabemos lo suficiente para resolver problemas
básicoas de tangencias.
Es necesario conocer el concepto de LUGAR
GEOMÉTRICO. Y hacer uso de al menos dos
tipos de lugares geométricos.
Un LUGARGEOMETRICO es un conjunto
de puntos en el plano que cumplen unas
circunstancias, características o propiedades
comunes respecto a un elemento geometrico
(puede ser un plano, una circunferencia, un
segmento, un ángulo, etc)
Para resolver problemas básicos de
tangencias tenemos que tener claros dos lugares
geometricos: Las rectas paralelas y las
circunferencias concéntricas.

Lugares Geométricos:PARALELAS Y CIR. CONCENTRICAS
d
d

d

d

d

DEFINICIONES DE ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS IMPORTANTES PARA TANGENCIAS
MEDIATRIZ: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos
puntos. Una mediatriz contiene los centros de TODAS las circunferencias que pasan
por los extremos del segmento. Cuanto más se aleje el centro del punto medio del
segmento más amplio será elradio.
BISECTRIZ: Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas.
Presente en las propiedades fundamentales de las tangencias. La bisectriz de un
ángulo contiene a todos los centros de circunferencias tangentes a los lados. Cuanto
más alejado esté el centro del vértice del ángulo más amplitud tendrá el radio de la
circunferencia tangente.
EJE RADICAL: El es lugargeométrico de los puntos del plano que son centros de
circunferencia de igual radio tangentes a otras dos.

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS
Una cir. concéntrica de radio (r+d) a otra de radio
(r) es el lugar geométrico de los puntos del plano
que son centros de las circunferencias
TANGENTES EXTERIORES de radio (d) a la
cicunferencia de radio (r).

PARALELAS A UNA DISTANCIA
Una recta paralela a unadistancia (d) es el lugar
geométrico de los puntos del plano que son
centros de circunferencias de radio (d) tangentes
a una recta que se encuentra a la distancia (d)
de su paralela.
d

d

r

d

-d

+d

d

Una cir. concéntrica de radio (r-d) a otra de radio
(r) es el lugar geométrico de los puntos del plano
que son centros de las circunferencias
TANGENTES INTERIORES de radio(d) a la
cicunferen cia de radio (r).

Las tangencias y los lugares geométricos

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TANGENCIAS
Las soluciones a los problemas de tangencias son rectas y circunferencias tangentes a otras rectas y/o
circunferencias. Pero la base de las soluciones y un requisito importante en estas es situar correctamente
LOS PUNTOS DE TANGENCIA Y LOS CENTROS (si la solución es una...