derivadas

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERIA Y AGRIMENSURA

Escuela de Formaci´on B´asica - Departamento de Matem´atica

PROBLEMAS APLICADOS
con
EDOS LINEALES de SEGUNDO ORDEN

Alberto J. Miyara 1- Dirce Braccialarghe 2

-20111
2

ajmiyara@fceia.unr.edu.ar
dirce@fceia.unr.edu.ar

´Indice
1. Motor de corriente continua

3

2. Piezoel´
ectricos

5

3. Flotaci´
on de una boya8

4. Flexi´
on de vigas

10

5. Conducci´
on de calor en una aleta de enfriamiento

13

6. Estabilidad

17

3

EDOL - Segundo orden

1.

Motor de corriente continua

El motor de corriente continua es una m´aquina que convierte la energ´ıa el´ectrica en mec´anica,
principalmente mediante el movimiento rotatorio. Esta m´aquina de corriente continua es una de
las m´asvers´atiles en la industria. Su f´acil control de posici´on, paro y velocidad la han convertido
en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatizaci´on de procesos. Con
la llegada de la electr´onica su uso ha disminuido en gran medida, pues los motores de corriente
alterna, del tipo asincr´onico, pueden ser controlados de igual forma a precios m´as accesibles para
elconsumidor medio de la industria. A pesar de esto los motores de corriente continua se siguen
utilizando en muchas aplicaciones de potencia (trenes y tranv´ıas) o de precisi´on (m´aquinas,
micro motores, etc.). Son de los m´as comunes y econ´omicos, y pueden ser encontrados en la
mayor´ıa de los juguetes a pilas.
En un motor de corriente continua es posible regular la velocidad angular del rotorcontrolando el voltaje a trav´es del mismo, dado que ´este es proporcional a aqu´ella.

Figura 1: Motor de corriente continua
Uniendo esas consideraciones a las leyes de Kirchoff para un circuito RL, se obtiene la
ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea cuya soluci´on proporciona el ´angulo θ (de la figura 1)
en funci´on del tiempo t:
L d3 θ
R d2 θ
dθ
= vin
J 3 +
J 2 + Kb
KT dt
KT dtdt
donde J es el momento de inercia del rotor, KT y Kb son sendas constantes de proporcionalidad
positivas, θ es el ´angulo girado por el rotor y vin es el voltaje de alimentaci´on. Es deseable que
una vez en marcha la velocidad angular del rotor alcance un valor estable (esto es, no crezca
indefinidamente). ¿Qu´e condiciones har´an que esto suceda?
Comenzaremos suponiendo que el motor partedel reposo y del equilibrio de momentos.
Para hallar la velocidad angular del motor en funci´on de las constantes involucradas observemos que la derivada de θ, el ´angulo girado, es ω, la velocidad angular. As´ı, la EDOL no
homog´enea que debe satisfacer ω es
L d2 ω
R dω
J 2 +
J
+ Kb ω = vin
KT dt
KT dt
La EDOL homog´enea asociada tiene como ecuaci´on caracter´ıstica
R
L
Jr2 +
Jr +Kb = 0
KT
KT
Sus soluciones son
r1,2

R
=−
±
2L

R
2L

2

−

KT Kb
LJ

(1.1)

4

EDOL - Segundo orden

Observemos que si las soluciones de esta ecuaci´on son reales y distintas, una ser´a positiva
y la otra negativa. Esto har´ıa que la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial tendiese a m´as
o menos infinito. Debemos imponer entonces que las soluciones r1,2 seaniguales o complejas
conjugadas. Es decir, para que la velocidad angular se estabilice debe ocurrir que
R
2L

2

≤

KT Kb
LJ

Supongamos que las soluciones r1 y r2 son complejas conjugadas. La soluci´on general de la
ecuaci´on homog´enea asociada es




2
2
R
R
K
K
K
K
R
R
T b
T b
t + C2 e− 2L t cos 
t
−
−
ωh (t) = C1 e− 2L t sen 
LJ
2L
LJ
2L

Tomandoβ =

KT Kb
LJ

−

R 2
2L

yα=

R
2L

esta u
´ltima expresi´on puede escribirse

ωh (t) = C1 e−αt senβt + C2 e−αt cosβt.
Para resolver la ecuaci´on no homog´enea tengamos en cuenta que la funci´on excitaci´on es un
polinomio de grado 0. Entonces, proponemos como soluci´on particular ωp = A (polinomio de
grado 0). Sustituyendo en la ecuaci´on 1.1 resulta:
L d2 ωp
R dωp
+...