derivadas

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES
ÍNDICE DE LA UNIDAD
1.- INTRODUCCIÓN................................................................................... 26
2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. .................................. 27
3.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. ...................... 28
4.- CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD..................................................... 29
5.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS .............................. 30
6.- ÁLGEBRA DE DERIVADAS. REGLA DE LA CADENA.. ..................... 30
7.- DERIVADA DE FUNCIONES ELEMENTALES ..................................... 30
8.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA .............................................................. 34
9.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS................................................ 34
9.1.- CÁLCULO DE LÍMITES: REGLAS DE L´HÔPITAL...................... 34
9.2.- MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS. OPTIMIZACIÓN ....... 35
9.3.- CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN ................................... 40
9.4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ........................ 41
10.- ACTIVIDADES.................................................................................... 44
11.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES ................................................ 61
1.- INTRODUCCIÓN.
El concepto de derivada, íntimamente asociado al de límite, que ya estudiamos en
la unidad anterior, constituyen, junto al de integral, los dos pilares fundamentales del
Cálculo Infinitesimal, parte de las Matemáticas de suma importancia en nuestromundo
actual. Fue Fermat (1602-1665), adelantándose a Newton y Leibnitz, el primer
matemático que formuló la idea de derivada en sus estudios de máximos y mínimos. Años
después, Newton también llegó a la idea de derivada en sus investigaciones sobre
velocidad. Por otra parte, Leibnitz también progresó en la definición de derivada y fue
quien designó la derivada en la forma: dx/dt,refiriéndose a cantidades infinitesimalmente
pequeñas.
Ya en el siglo XIX, los matemáticos de la época dieron rigor y precisión al concepto
de derivada, conservándose prácticamente hasta nuestros días y siendo, junto con las
integrales una de las herramientas más eficaces para múltiples campos de la ciencia
como la Física, la Química o toda la Ingeniería.

Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.:Santiago Martín Fernández

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UNIDAD 2: DERIVADAS Y APLICACIONES

2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Definición 1: Sea f una función definida en un
intervalo [a , b ] ⊆ Dom ( f ) . Se llama tasa de
variación media de f en dicho intervalo al cociente:
f ( b) − f (a)
TVM[a , b] ( f ) =
b−a
Nota 1: Obsérvese que la tasa de variación media de
una función en un intervalocoincide con la pendiente
(recordemos que la pendiente es la tangente
trigonométrica del ángulo que forma con el eje de
abscisas) de la recta secante a la gráfica en los puntos correspondientes, es decir:
f (b) − f (a)
m = tgα =
= TVM [a , b] ( f )
b−a
Definición 2: Sea f una función definida en un entorno de un punto x = a de su dominio.
f ( x ) − f (a )
. En tal
Decimos que f esderivable en dicho punto si existe y es finito: Lím
x →a
x −a
caso, a este límite se le llama tasa de variación media o derivada de la función en el
f ( x ) − f (a )
f ( x ) − f (a )
punto. Se escribe: f ' ( a ) = Lím
. Al cociente
se le llama cociente
x →a
x −a
x −a
incremental.
Nota 2: Sin más que hacer el cambio de variable h = x − a , podemos obtener una
definición equivalente y quefue la primera que apareció históricamente:
f ( x ) − f (a)
f (a + h) − f (a)
f ' ( a ) = Lím
= Lím
. Ambas definiciones son válidas y dependerá
x →a
h →0
x −a
h
del caso la idoneidad de emplear una u otra.
Definición 3: Sea f una función definida en un entorno por la izquierda de un punto x = a
de su dominio. Decimos que f es derivable por la izquierda en dicho punto si existe y es...