derivadas

Reglas de derivación
Teorema
Derivada de una constante por una función
H) f es derivable en x=a
T) (kf(a))' = k.f'(a)

Demostración:

f'(a)------^------
k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a))
(k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a)
x->ax - a x->a x - a

Nota:
El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada:
(kf)'(x) =k.f'(x), si f es derivable en x.
Teorema
Derivada de la suma
La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función.

H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T)f+g es derivable en x=a
(f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)

Demostración:
(f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a)
(f+g)'(a) = lim ------------------- = lim-------------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x) - f(a) g(x) - g(a)
= lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a)
x->a(x-a) (x-a)

Notas:
En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x.
El teorema se extiende a más de dos funciones.
Ejemplo
(x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/xTeorema
Derivada del producto
H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a
T) f.g es derivable en x=a
(f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a)

Demostración:
(f.g)(x) -(f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a)
(f.g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------
x->a (x-a) x->a (x-a)

f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) -f(a)g(x)
= lim ------------------------------------------ =
x->a (x-a)

f'(a) g'(a)
(*) g(a) -----^----- -----^-----
-^- (f(x) - f(a))...