Derivadas

Dominio

Lineal

DOM= REALES



Cuadrática

Polinómica

Exponencial

Raiz impar

Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0

g(x)

Logaritmo:

y= lnf(x) f(x)>0

Raiz PAR:

y= Ö f(x) f(x)³ 0

Calcular los Puntos Criticos

Se halla f´(x)
Se iguala f´(x)=0
Crecimiento Y Decrecimiento
(Bolzano)

Se despeja x = PC
Se toma el Dominio de f´(x)
Se corta con los PC
Se le asignaun valor a cada intervalo que se reemplaza en f´(x)
Extremos (máximos y mínimos)

Criterio de f´(x)
Si en Bolzano:
crece/decrece= P Máximo
decrece/crece= P Mínimo

2. Recta Tangente

f´(x)= pendiente de la recta tg
y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b

Integral Inmediata

a)ò [f(x)+g(x)-z(x)] dx =

b)ò f(x)dx + ò g(x) dx - ò z(x) dx

a)Integro (+C)

3. Metodo de substituciono cambio de variables

Si en tu ejercicio hay: (LEPRD)

a) Un Logaritmo u= al logaritmo

Una Exponencial u= al exponente
Una Potencia u= a la base
Una Raiz u= a lo de adentro
Una División u= al denominador
Ejemplo:

ò 3x2 – 1
Ö x3 - x

U= x3 –x

Identifico U (LEPRD)
Du= 3x2 –1 dx

Calculo el DU (derivo u) por dx
du = dx
3x2 –1

Igualo a 0
ò 3x2 – 1 du = ò 1 du
Ö u3x2 – 1 Ö u

Sustituyo en la fórmula original:
ò 1 du = (tabla) 2Ö u +C
Ö u

Integro
Sustituyo
2Ö u +C = 2 Ö x3 –x + C

4. Metodo de integración por partes

ò u.dv = uv - ò v.du

(ejercicio) (solución)

El problema es saber a qué llamar u y dv en el ejercicio (ALPET)

Arcos

Logaritmo

Potencia

Exponencial

Trigonometrica

PARA U

Si tenés 2 potencias, u a la quetenga exponente entero +

Ejemplo:

ò x2 ex dx

Defino U(en este caso, la potencia)
U= x2
(derivo)
Du= 2x dx

Y dv
Dv= ex dx
(integro)
V= ex

uv - ò v du

x2 ex -ò ex 2x dx

(por propiedad, k sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx

No esta en tablas, vuelvo a integrar por partes

Identifico u y dv
u= x (derivo) dv= ex dx (integro)

du= dx v= ex

x ex -ò ex dx

(en elresultado anterior)

x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)

x2 ex -2 [ x ex - ex ] + C

El numero de la potencia me indica cuantas veces debo integrar por partes!!

5. Cíclicas

Se forma con una exponencial o logarítmica y una trigonométrica

Ej: ò e2x cos 3x dx

Se resuelve por sustitución

U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx

du= 2 e2x v= sen 3x

sustituyo dos veces

òe2x cos 3x dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C

Integrales de funciones compuestas con raices

Ejemplo:

ò cos Ö 2x+3 dx

Z= Ö 2x+3 dx

Sustituyo
Z2 –3= x2

Despejo x
Derivo
Z dz = dx

d) Resultado: ò cos z. z dz
(Partes)

u= Z dv= cosz dz
du= dz v= sen z
uv-ò v du
z sen z -ò senz dz
(Integro
z sen z+ cos z +C
Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C

Integraldefinida. Regla De Barrow

ò a f (x) dx = ½ F(b x) ½ a = f (b) – F(a) Û b>a
b b
ò a f(x) dx = - ò a f (x) dx
b b
Ejemplo ò 1 ex dx
0 5+7 ex
(Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx
7 ex
ò 1 ex du Þ 1 ò 1 1 dx Þ 1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln 12½ 1
0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0

6. Calculo de areas

Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)
b b

Si en algún lugarcambian el techo o el piso divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1 + A2

Areas trigonométricas, por cada Õ cuento 1 area!!
Si no se cual es el techo y cual el piso,
a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites por integración

Tips

Una funcion es derivable si:

a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una única tangente)

En los puntos de inflexión la F´(x):

a)f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.

c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si la funcion (no F´(x)pero si F(x))

Mínimos/Máximos:

a) Absolutos b) Relativos

Si el dominio de la derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
Si la derivada es positivaÞ recta tg +Þ pendiente+= se grafica creciente
Si me falta el dato "y", resuelvo la f(x).
Si se puede simplificar, entonces se podia...