Derivadas

La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.

5. Un dietista en un hospital desea diseñar una dieta especial utilizando dos alimentos. Cada onza de alimento M contiene 30 Unidades de calcio, 10 de hierro y 10de vitamina A. Cada onza del alimento N contiene 10 unidades de calcio, 10 de hierro y 30 de vitamina A. Los requerimientos mínimos en la dieta son de 360 unidades de calcio, 160 de hierro y 240 de vitamina A. Encuentre el número de soluciones factibles para la cantidad de cada tipo de alimento que se puede utilizar.
Solución:
Alimento | Ca | Fe | VA |
M (x) | 30x | 10x | 10x |
N (y) |10y | 10y | 30y |

→50x
→50y
Ca: 30x+10y≥360
3x+ y ≥36
x;y
0 36 A (0; 36)
12 0 B (12; 0)
fe: 10x+10y≥160
x+y ≥16
0 16 C (0; 16)
162 0 D (16; 0)
VA: 10x+30y≥240
x+3y ≥24
0 8 E (0; 8)
24 0 F (24; 0)
Ca y fe
3x+ y =36
(-) x+y=16 → x+y =16, donde reemplazamos x y tenemos que:
2x =20 10+y =16
X =10 y =6

P (10; 6)
Ca y VA
3x+ y =36
x+3y =24 → se multiplica por (- 3) para poder eliminar:
3x+ y =36
-3x-9y =-72 → 3x+ y ≥36, donde reemplazamos Y, tenemos que:
-8y = -363x+4,5 ≥36
Y = 4,5 3x ≥31,5
x ≥10,5

Q (10,5; 4,5)

VA y fe
x+ 3y =24
(-) x+y =16 → x+ y =16, donde reemplazamos Y, tenemos que:
2y = 8 x+4=16
y = 4 x =12

R (12; 4)

Vértice | Z=10x+6y | |
(24; 0) | Z=10(24)+6(0) | 240 |
(0; 36) | Z=10(0)+6(36) | 216 |
(10;6) | Z=10(10)+6(6) | 136 |
(12; 4) | Z=10(12)+6(4) | 144 |

Ca VA fe
3x+ y ≥36 x+3y ≥24 x+y ≥16
216 144 144
136 240

6. Un fabricante de casetas de fibra de vidrio para camionetas produce un modelo compacto y uno regular. Cada caseta compacta requiere de 5 horas en el departamento de fabricación y 2 en el de acabado. Cada caseta regularrequiere de 4 horas en el departamento de fabricación y de 3 en el de acabado. El número máximo de horas de mano de obra disponibles por semana en el departamento de fabricación y en el de acabado es de 200 y 108 respectivamente. Si la compañía obtiene una utilidad de $ 40.00 en cada caseta compacta y $ 50.00 en cada caseta regular. Cuantas casetas de cada tipo debe producir cada semana paramaximizar la ganancia total obtenida en el mismo periodo, suponiendo que todas las casetas se venden y cual es dicha ganancia máxima.

Solución:
X: Modelo compacto
Y: Modelo regular
Caso Variable | Departamento Fabricación | DepartamentoAcabado |
M. Compacto | 5x | 2x |
M. Regular | 4y | 3y |
Max. | 200 | 108 |

→$40
→$50

D1 D2
5x+4y ≤ 200 2x+3y ≤ 108
A (0; 50) C (0;36)
B (40; 0) D (54; 0)
Eliminar “Y”
(5x+ 4y =200) → x (3)
(2x+3y =108) → x (-4)
15x+12y=600 → 2x+ 3y = 108, donde reemplazamos x, tenemos que:
-8x-12y =432 48+3y =108
7x=168 3y = 60
X=24 y =20
P (24; 20)

Vértice | Z=40x+50y | Ganancia |
(0; 0) | Z=40(0)+50(0) | 0 |
(0; 30) | Z=40(0)+50(30) |1500 |
(24; 20) | Z=40(24)+50(20) | 1960 |
(40; 0) | Z=40(40)+50(0) | 1600 |

La ganancia Máxima es de $1960

* Casetas de cada tipo
Casetas de fabricación: Modelo Compacto = Mc, Modelo Regular = MR
MC + MR
5X + 4Y
5(24)+4(20)
120 + 80 = 200
Casetas de acabado:
MC + MR
2X + 3Y
2(24)+3(20)...