Derivadas

DERIVADAS ESPECIALES
Existen casos en que algunas funciones pueden ser consideras como si fueran conformadas, o como se acostumbra decir: compuestas, por dos funciones en el caso de la funcion h(x)=(2x+5)2 se puede pensar como compuestas por las funciones g(x)=2x+5 y f(x)=(x)3 por que el resultado de 2x+5 se tendrá que elevar al cubo, así que, dada una x, primero se calcula g(x)=2x+5 , locual podemos llamar u, luego u es elevado al cubo, f(u)= u3 o también f(2x+5)=(2x+5)3 es así como podemos pensar que h(x)=f(g(x)), esto se simboliza de la siguientes manera h=f .g=f(g) y se dice que h es composición de f y g.
Es conveniente saber que si una funcion tiene derivada en cada valor de su dominio, es decir, tiene derivada en cualquier valor de x, se dice que es derivable.
Paraderivar funciones compuestas, considera que h=f (u) y u=g(x), entonces se determina una funcion compuesta h(x)=f (g(x)). De esta manera si g es derivable en x y f es derivable en u, entonces h(x)=f (g(x)) es derivable.
La derivada de h con respecto de x es igual al producto de la derivada de f con respecto a u y la derivada de u con respecto de x.
h’ (x) =f’ (g(x)).g’(x)
Ejemplo: h=(x3-7x)5h’(x)=5(x3-7x)4(3x2-7)

DERIVADAS SUCESIVAS
Es común que una funcion, por ejemplo f, se exprese como y, de tal manera que f’ sea y’.
Algunas funciones pueden ser derivadas mas de una sola vez; es decir, podemos derivar la derivada de una funcion y sucesivamente su derivada, llamando a cada una de acuerdo con el orden en que se obtuvieron.
Funcion original: y primeraderivada: y’ segunda derivada: y’’ tercera derivada: y’’’
Así proseguiremos hasta obtener la “enésima derivada” +n-enésima.

Ejemplos:

DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función | Derivada |
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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cualuna función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Derivada de la función coseno
Si f(x) = cos(x)

A partir de laidentidad trigonométrica, se puede escribir

Operando se obtiene:

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 
La función es la inversa de si . Es muy común escribir la función inversa de f como . Así, lafunción inversa de se puede escribir como . Esta función recibe el nombre de arcoseno y, también se puede escribir como .

Ejemplo 1.

Hallar el valor de x para el cual .

Para despejar una multiplicación en una igualdad se usa la división, esto es, la función inversa. De igual manera, para poder eliminar una tangente se requiere la función inversa de la tangente: .

Una forma simplede graficar las funciones inversas es invertir la tabulación. Por ejemplo, la función

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| 1 |
| 0 |
| -1 |
| 0 |
| 1 |
| 0 |
| -1 |
| 0 |
| 1 |

La representación tabular de su función inversa es

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1 | |
0 | |
-1 | |
0 | |
1 | |
0 | |
-1 | |
0 | |
1 | |

Así, la variable independiente x toma valores en el intervalo [-1,1].En la gráfica es fácil observar que para un valor de x hay más de un valor de f(x), por lo tanto, para manejarla como función se debe tomar solo una pequeña porción de los valores dado (en color rojo), esto es, un intervalo definido para el dominio y el contra dominio.

MAXIMOS Y MINIMOS.
En cálculo hay dos significaciones de la palabra "máximo", y se distinguen mediante los adjetivos...