Derivadas

Derivadas
Según Carlos Grajeda:
Definición general
La derivada direccional de una función escalar:

en la dirección del vector:

es la función definida por el límite:

Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente

donde "" denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto , la derivada direccional de f representa intuitivamente latasa de cambio de f con respecto al tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por en dicho punto.
Definición solo en la dirección de un vector[editar]
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:

Si la función es diferenciable, entonces

Esta definición tiene algunas desventajas: suaplicabilidad está limitada a un vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de por unidad de distancia.
Restricción al vector unitario[editar]
Algunos autores restringen la definición de la derivada direccional con respecto a unvector unitario. Con esta restricción, las dos definiciones anteriores se convierten en una misma.
Demostración[editar]
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable . La derivada direccional según la dirección de un vector unitario es:


El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio lo cuallleva, por ser diferenciable la función[1] f, a:

Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:

Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector :










Autores: Anna López Ratera (alopezrat@uoc.edu), Cristina Steegmann Pascual (csteegmann@uoc.edu)
Una de las mayores dificultades que se tiene al comenzar a estudiar la derivada de una función esla comprensión de sus aplicaciones (principalmente su significado geométrico). Mientras que el cálculo de derivadas suele resultar sencillo e incluso atractivo (dada la mecánica del proceso), las aplicaciones de la derivada se convierten en un problema complejo, aunque no lo sea, debido a que en muchos casos no se ha conseguido asimilar y adquirir el concepto con claridad.
Los materiales que semuestran en este math-block tiene como objeto el familiarizar al lector con los conceptos de límite y derivada de una función así como mostrar algunas de sus aplicaciones (cálculo de la recta tangenta y normal de una función en un punto, construcción de gráficas, ortimización de funciones, aplicaciones en una situación física particular...) que tanto interés tienen hoy en día sobre un amplio abánicode campos (económico, social, físico, ...).

Conceptos fundamentales:
En elementos del cálculo diferencial podemos consultar cálculos de derivadas y límites junto con sus diferentes aplicaciones. En concreto podemos consultar aplicaciones derivadas para una introducción a las aplicaciones de las derivadas y un recordatorio rápido del cálculo correspondiente.
Para las siguientes aplicaciones delas derivadas adjuntamos diferentes enlaces de interés:
Recta tangente y normal de una función en un punto: Ver derivada y sus aplicaciones, concretamente las páginas 2 i 3.
Representación gráfica de funciones derivables: En extremos relativos e intervalos de crecimiento de una función se introducen algunos elementos sobre la construcción de gráficas de funciones derivables, utilizando comoherramienta las derivadas. En esta sección se estudian máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para la construcción completa y guiada de gràficas de funciones derivables consultar los enlaces gráfica de una función derivable A y gráfica de una función derivable B.
Optimización de una función: La optimización de una función aparece en una gran número de problemas de interés en un...