Derivadas

1º.- Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:

Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primerapráctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.
Interpretación de la derivada

Interpretación geométrica de la derivada

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en unpunto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)

Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Dado que la pendiente dela tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

Dada la curva de ecuación f(x) = 2x2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de 45°.

Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x = 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9

Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.

Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 1000t² , siendo t el tiempo metido en horas.Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.

2. La velocidad instantánea de crecimiento.

3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.

Derivada De Funciones Algebraicas
Derivada De Funciones Algebraicas
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Propósitos: Continuar el estudio del concepto de derivada a través del manejo de su representación algebraica buscando que el alumnoreconozca las reglas de derivadas como un camino más eficaz de obtener la derivada de una función.
¿Qué es una derivada?
Derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. Una derivada puede ser vista como, cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado.
Por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidadinstantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo.)
Su supongamos que tenemos una función la llamamos. La derivada de es otra función que llamaremos.

Para resolver:
Se multiplica el número a la izquierda de...