Derivadas

Tema 12 – Derivadas. Aplicaciones – Matemáticas I – 1º Bachillerato

1

TEMA 12 – INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS.
APLICACIONES
TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
EJERCICIO 1 : Halla la tasa de variación media de la siguiente función en el intervalo [1, 2] e indica si
f(x) crece o decrece en ese intervalo: f x   2 x 2  3 x
f  2  f 1 2  1  2  1 3


 3
21
1
1
1
Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en el intervalo [1, 2].

Solución: T.V.M. 1, 2 

EJERCICIO 2 : Dada la función:
f x   x  1
Calcula la tasa de variación media en el intervalo [0, 1]. ¿Es creciente o decreciente la función en
dicho intervalo?
3

f 1 f  0 0  1 1

 1
1 0
1
1
Como la tasa de variación media es positiva, la función escreciente en este intervalo.

Solución: T.V.M. 0 , 1

EJERCICIO 3 : Calcula la tasa de variación media de esta función, f(x), en los intervalos siguientes
e indica si la función crece o decrece en cada uno de dichos intervalos:

a) 1, 0
b)

1, 2

Solución:
f  0  f 1 1  1 1  1


2
0   1
1
1
Como la tasa de variación media es positiva, la función es creciente en [–1,0].(También se
puede apreciar directamente en la gráfica).
f  2 f 1 0  2
b) T.V.M. 1, 2 

 2  La función decrece en este intervalo.
21
1
a) T.V.M.  1, 0 

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN
EJERCICIO 4 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada:
f x   x 2  1
f  x  f 1
( x 2  1)  2
(x  1).(x  1)
x 2 1
lim
 lim
 lim
 lim ( x  1)  2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1
x 1
x 1
EJERCICIO 5 : Calcula, utilizando la definición de derivada, f´ (1) para la función f x  
.
3
x 1
0
f  x  f 1
1 1
Solución: f ' 1  lim 
 lim 3
 lim 
x 1
x 1
x 1 x  1
x 1 3 3

Solución: f ' 1  lim

2

EJERCICIO 6 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1) en x=2, aplicando la definiciónde derivada

x  12  1  lim x 2  2x  1  1  lim x 2  2x  lim xx  2   lim x  2
f x  f 2
 lim
x2
x2
x2
x 2
x2
x 2
x 2 x  2
x2 x  2
x 2

Solución: f ' 2  lim

Tema 12 – Derivadas. Aplicaciones – Matemáticas I – 1º Bachillerato

2

EJERCICIO 7 : Aplicando la definición de derivada, calcula f' 1, siendo f x  

2
.
x

2
2  2x
2
f  x  f 1
x
x  lim 2  2x lim 2(1  x )  lim  2  2
Solución: f ' 1  lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1 x  1 x 1 x  1
x 1  x  1x x 1 ( x  1) x x 1 x

FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN
EJERCICIO 8 : Halla f´(x), aplicando la definición de derivada :
a) f (x)  x 2  1

b) f x  

x 1
3

c) f x  2x 2

Solución:

d) f x  

1
x

e) f x  

2x
3

 

x  h 2  1  x 2  1  lim x 2  h 2  2xh 1  x 2  1 
f x  h  f x 
 lim
h
h
h
h 0
h 0
h 0

a) f ' x   lim

h 2  2xh
h h  2x 
 lim
 lim h  2x   2x
h
h
h 0
h 0
h 0
x  h  1  x  1
x  h  1  x 1
h
f x  h  f x 
h 1
3
3
3
b) f ' x   lim
 lim
 lim
 lim 3  lim

h
h
h
h 0
h 0
h 0
h 0 h h 0 3h 3
 lim

c)





f x  h  f x 
2x  h 2  2 x 2
2 x 2  h 2  2xh  2x 2
2x 2  2h 2  4xh 2 x 2
 lim
 lim
 lim

h
h
h
h
h 0
h0
h0
h0

f ' x   lim

2h 2  4xh
h  2h  4 x 
 lim
 lim  2h  4x   4x
h
h
h 0
h 0
h 0
x  x  h 
xxh
h
1 1
f x  h  f x 
h
x x  h 
x x  h 
x x  h 
x

h
x
d) f ' x   lim
 lim
 lim
 lim
 lim
 lim

h
h
h
h
h
h 0
h 0
h0
h 0
h 0
h 0 hxx  h 
1
1
 lim

x

x

h

h 0
x2
 lim

f x  h  f x 
e) f 'x   lim
 lim
h
h 0
h 0

2x  h  2x
2x  2h  2x
2h

2h 2
3
3  lim
3
 lim 3  lim

h
h
h 0
h 0 h
h 0 3h 3

CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS
EJERCICIO 9 : Halla la función derivada de:
a) f x   3 x 4  2 x  5

x
3

e) f x  2 x 5 

i) f x  4 x 3  3 x 2  2

m) f x  

p) f x 

3x  1
x2 2

x

2
x

b) f x   e x

c) f x   2 x 3  x 2  1

f) f x  sen x...