DERIVADAS

Regional Boyacá
Centro Nacional Minero
Servicio Nacional de Aprendizaje -SENA
Sistema de
Gestión de la
Calidad

Fecha : ___/ ___/ ___
Versión:

TALLER PARA VALORAR CONOCIMIENTOS

Nombre de la Estructura:
Resultado
Evidencia de : Conocimiento

QUIMICA APLICADA A LA INDUSTRIA
Prueba escrita de los contenidos de la actividad.

Nombre del Alumno:
Nombre del instructor:
Duración: horas

Código:

No.Orden
VLADIMIR ANDRE SANCHEZ AVILA
1

1. INSTRUCCIONES PARA EL DILIGENCIAMIENTO
Estimado Aprendiz: le sugiero tener presente la información contenida en este Instrumento de
Evaluación, el cual ha sido realizado para recoger verificar y valorar sus conocimientos de la
actividad.
Lea cuidadosamente la pregunta y responda de manera clara, concisa, precisa y preséntelas a
su Instructor.
Usted debe:
Analizar tranquilamente cada pregunta
 Solicitar explicación sobre aquellas palabras o expresiones que le generen dudas.
 Valoración: Esta prueba se considera aprobada si contesta acertadamente todas las
preguntas planteadas.
2. DESARROLLO TEORICO

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de
abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que correspondeal incremento de x
(Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa
por Δy, a la diferencia entre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y
a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa por
ó
, al cociente entre la tasa de variación y la amplituddel intervalo considerado
sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que
pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

ya que en el triángulo PQR resulta que:

Ejemplos

1. Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

2. El índice de la bolsa de Madrid pasócierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de
variación media mensual.

Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un
cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Ejemplos
1. Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

2. Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5en x = 1.

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta
secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α
tiende a ser β.

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función
en ese punto.
mt = f'(a)
Ejemplo
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente esparalela a la
bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m =
1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

INTERPRETACION FISICA DE LA DERIVADA

Velocidad media
La velocidad media es el cociente entreel espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido
(Δt).

Velocidad instantánea

Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es
e(t) = 6t2. Calcular:
1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2. La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t= 1.

FUNCION DERIVADA

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real
su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

Ejemplos
1. Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.

2. Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1).
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
DERIVADAS LATERALES

Derivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una...