derivadas

UNIVERSIDAD UNICATÓLICA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL
GUÍA DE TRABAJO No 5
TEMA: LA DERIVADA
Profesor: Carlos Julio González N.
“Un alumno al que nunca se le exige lo
máximo nunca llegará a dar todo lo que
lleva dentro.”
John Stuart Mili (1806 - 1873)

LA DERIVADA
Objetivo: Manejar e interpretar geométricamente el concepto de la derivada
de una función en un punto.
5.1.INTRODUCCIÓN. La derivada como la pendiente de una recta tangente
a una curva en un punto.
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene al número real
c de tal forma que tenemos el punto P c, f (c)  de la curva. Consideremos otro
punto cualquiera de la curva Q x, f ( x)  tan próximo al primero como se desee.
La idea es que el punto Q se puede tomar tan próximo al punto P que larecta
secante PQ pueda llegar a ser la recta tangente a la curva en el punto P. Como
se ilustra en la figura 1:

sec
Q (x, f(x))

f(x)

tan
f(x) – f(c)
f(c)

P (c, f(c))
x–c
c

x

Figura No 1

1

La pendiente m de la recta secante PQ está dada por m PQ 

f ( x )  f (c )
.
xc

Entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P se puede
definir como el valor límite de lapendiente PQ cuando el punto Q tiende a P,
f ( x )  f (c )
lo que se puede escribir como m tan  lim
.
x c
xc
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es
y  f ( x)  mtan x  c   f (c)
escrita en la forma punto-pendiente, y  y0  mx  x0  . El punto P c, f (c)  es
llamado el punto de tangencia. Esta recta tangente es llamada la aproximación
lineal de f alrededor de x  c .
EjemploIlustrativo 1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva f ( x)  x 2 en el
punto P(2, 4) .
Solución:
y
La pendiente de la recta tangente en el

punto P(2, 4) esta dada por
mtan  lim
x 2

x2  4
x2

(Recuérdese las técnicas algebraicas
para calcular límites cuando se tiene
la indeterminación 0 .)
0

x  2 x  2 
 lim  x  2   4
m tan  lim
x2
x2
x2







x







Recta tangente a la curva f(x) = x2
en el punto (2, 4)

De la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta,
tiene que la ecuación de la recta tangente en P(2, 4) es
y  4  4x  2
ó 4x  y  4  0
escrita en la forma general, Ax  By  C  0 .

y  y0  mx  x0  se

Ejemplo Ilustrativo 2.
Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva
en el punto P(9, 3) .Solución:

f ( x)  x

2

La pendiente de la recta tangente en el punto P(9, 3) está dada por
y

x 3
x 3 x 3
mtan  lim
 lim

x 9 x  9
x 9 x  9
x 3
x9
1
1
 lim
 lim

x 9
 x  9  x  3 x 9 x  3 6
La ecuación de la recta tangente en ese
punto es
1
y  3  x  9
6
ó x  6y  9  0
escrita en la forma general.









x














Recta tangente a la curva
y  f (x)  x en el punto (9, 3)

Ejemplo Ilustrativo 3.
Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la curva
 1
el punto P ,  .
 6 2
Solución:
La pendiente de la recta tangente en el punto está dada por
sin x  sin 6 
m tan  lim

x  6
x

f ( x)  sin x en

6

Se usa la identidad

 x 6   x 6 
2 cos
 sin 

2   2 

 lim

x 6
x

       
sin   sin  2 cos
 sin 

 2   2 

6

m tan

 x 6 
2
sin


2 
 x 6 

 lim cos
  lim

x 6
x
 2  x
6

y


6

 x 6 
sin 

2 
 

 cos   lim
x 6
 6  x  6
2
3
 
 cos   1 
2
6

x
























Recta tangente a la curva f ( x)  sin x en el
punto   , 1 


 6 2

La ecuación de la recta tangente es3

y

1
3


x  ó
2
2 
6

3x  2 y  1 

 3
6

 0.

5.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Ahora se considera una nueva variable h tal que x = c + h, de donde se deduce
que h = x – c. Así, cuando h tiende a cero (0), es porque x se aproxima a c; esto
es h  0, si x  c, como se ilustra en la figura 2.
Se obtiene así, la siguiente expresión equivalente a la estudiada en la...