Derivadas

TEMA 7. DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Derivada de una función en un punto.
Se dice que la función f(x) es derivable en el punto x = a si existe
lim

∆x →0

f (a + ∆x ) − f (a )
∆x

o equivalentemente si existe

lim
x→ a

f ( x) − f ( a)
.
x−a

El valor de dicho límite se simboliza f’(a) y es la derivada de la función f(x) en el
punto x = a.
Una función es derivable en un conjunto si loes en cada uno de los puntos del
conjunto.
La interpretación geométrica de la derivada es: Si la función f(x) admite una
derivada en el punto (a,f(a)) su representación gráfica tiene una tangente en ese punto,
cuya pendiente es precisamente la derivada.
Derivadas laterales.
Si en la definición de derivada en un punto consideramos los límites laterales,
obtendremos las derivadas laterales de f(x)en el punto x = a, que son:
f '( a + ) = lim

∆x → 0

+

f (a + ∆x ) − f (a )
;
∆x

f '( a − ) = lim

−

∆ x →0

f (a + ∆x ) − f (a )
∆x

Cumpliendo:

-- Una función es derivable en un punto si y sólo si existen las derivadas laterales y
estas coinciden.
-- Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto, no siendo cierto
el recíproco.
Función derivada.
Sea f :( a, b) → ℜ

una funciónderivable. Sabemos además que para todo x del

intervalo (a,b) existe f’(x); podemos definir una función Df :( a, b) → ℜ.
x → ( Df )( x ) = f '( x )
que hace corresponder a cada valor x del intervalo (a,b) su derivada f’(x).

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Esta es la función derivada que se puede simbolizar de todas estas formas:
Df ( x ) = f ' ( x ) = y ' =

df dy
=
;
dx dx

teniendo cuidado de no confundir las dosúltimas

notaciones con un cociente.
Diferencial.
Dada la definición de derivada

f ' ( a ) = lim

∆x →0

cuando ∆x es muy pequeño tenemos que

f ( a + ∆x ) − f ( a )
, resulta que
∆x

f ( a + ∆x ) ≈ f ( a ) + f ' ( a ). ∆x y de esta

forma el error que cometemos al calcular f(a+∆x ), calculando f(a) es tanto más
pequeño cuanto más pequeño sea ∆x .
Al término f’(a).∆x se la denomina diferencial de f(x)en a y se designa dfa( ∆x ),
siendo por tanto la diferencial de una función en un punto una función lineal:
df a :ℜ → ℜ
∆x → f ' ( a ). ∆x
Así a cada punto a en que f(x) tenga derivada queda asociada una función lineal que
es la diferencial de f(x) en ese punto y la designaremos df o simplemente dy.

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Cálculo de derivadas.

FUNCIÓN

DERIVADA

y=k

y’ = 0

y=x

y’ = 1

y = [ f ( x) ]

y ' = n[f ( x )]

n

n−1

. f ' (x)

y = f(x)+g(x)

y’ = f’(x)+g’(x)

y = f(x). g(x)

y’ = f’(x). g(x) + f(x).g’(x)
y'=

f '( x ). g ( x ) − f ( x ). g ' ( x )
g 2 (x)

y = ln[ f ( x )]

y'=

f '( x )
f (x)

y = af(x)

y’ = af(x).ln(a).f’(x)

y = sen {f(x)}

y’ = cos {f(x)}.f’(x)

y = cos {f(x)}

y’ = -sen {f(x)}.f’(x)

y = arc sen {f(x)}

y' =

y = arc cos {f(x)}

y' =

y=

f (x)
g( x )

f '( x)
1 − ( f( x)) 2
− f '( x)

1 − ( f ( x)) 2
f '(x)
y'=
1 − ( f ( x ))2

y = arc tg {f(x)}

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APLICACIONES DE LA DERIVADA
Crecimiento y decrecimiento.
Una función f : D → ℜ es creciente en un punto x0 si existe un entorno de x0;
E = (x0-h, x0+h), dentro de su dominio de definición tal que:
∀ x∈ E

con

x < xo ⇒ f ( x ) ≤ f ( x 0 )

∀ x∈ E

con

x > xo ⇒ f ( x ) ≥ f ( x 0 )

y

La función f(x) serádecreciente en un punto x0 , cuando con las mismas
condiciones anteriores, cambie el sentido de las desigualdades finales, y será
estrictamente creciente o decreciente cuando estas desigualdades sean estrictas, es
decir será estrictamente decreciente si:
∀ x∈ E

con

x < xo ⇒ f ( x ) > f ( x 0 )

∀ x∈ E

con

x > xo ⇒ f ( x ) < f ( x 0 )

y

Propiedades. Si existe f’(x) entonces:
f(x) creciente en x0 ⇒f ' ( x0 ) ≥ 0
f(x) decreciente en x0 ⇒ f ' ( x0 ) ≤ 0
f’(x0) > 0 ⇒ f(x) es estrictamente creciente en x0
f’(x0) < 0 ⇒ f(x) es estrictamente decreciente en x0
Máximos y mínimos.
Una función f : D → ℜ tiene un mínimo (máximo) relativo ó local en x 0 ∈ D si
existe un entorno E ⊂ D de x0 tal que: ∀ x ∈ E ⇒ f ( x 0 ) ≤ f ( x)

[f(x 0 ) ≥ f(x)] .

Si ∀ x ∈ D ⇒ f ( x 0 ) ≤ f ( x ) diremos que es un...