Derivadas

Concepto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
La derivada esuno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.

El teorema del valor medio o deLagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:


El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado diceque:
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c  (a, b) tal que:


Regla de L'Hôpital
Si , en donde f y g son derivables en un entorno de a yexiste , este límite coincide con .

La regla de L'Hôpital se aplica directamente en las indeterminaciones:

Derivadas de funciones
La función derivada de una función f(x) es una función queasocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa porf'(x).

Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmoneperiano de la base y por la derivada del exponente.

Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que larelación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no esnecesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
x'=1.
En general y'≠1.Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.