Derivadas

DERIVADAS

Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo).

Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes [pic], siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Ver figura abajo).

Pendiente de una curva en un punto P de lamisma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente a la curva en el punto P.

Derivada de una función [pic]: Es la función denotada por [pic] o por [pic], definida por:

|[pic] |

siempre que el límite exista. Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

Diferentes formas derepresentar la derivada de una función [pic] :
[pic]

La derivada como razón de cambio.

Definición: [pic]
La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio [pic].
y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.

GRÁFICAS DE PENDIENTES DE SECANTES Y TANGENTE
|[pic]|[pic][pic] |
|[pic] | |
|[pic][pic] |[pic][pic] |
|[pic][pic]|[pic][pic] |

GRÁFICA DE PENDIENTES DE SECANTES Y TANGENTE

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|[pic]|

[pic] [pic]

Reglas para derivar funciones:

|Hipótesis: [pic]son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o constantes. |
|[pic] 6. [pic] |
|[pic] 7. [pic]|
|[pic] 8. [pic] |
|[pic] 9. [pic] |
|[pic] |Ejemplos:

1. [pic]
[pic]
2. [pic]
3. [pic]
[pic]
4. [pic]
[pic]

5. [pic]
[pic]

Ejemplo: [pic] es la ecuación de la demanda del producto de un fabricante, donde x es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Determinar cuál es la razón de cambio del precio del artículo con respecto a los artículos demandados,cuando éstos son 5.
[pic] . Es decir, cuando se demandan 5 artículos, al incrementar la demanda en un artículo el precio del mismo disminuye en 20 dólares.
Costo marginal.- Es la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).
Si [pic] es la función del costo total de producción de xartículos[pic] es la función del costo marginal.
El costo total está dado por: [pic], es decir la suma de los costos fijos y los costos variables.
El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por: [pic]
Ejemplos:

1. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por: [pic]. Determinar el costo marginal cuando se producen 3...