Derivadas0910

Tema 6

Funciones diferenciables
Se sabe que la derivada y ′ de una funci´
on de una variable, y = f (x), puede
interpretarse como la tasa de variaci´
on de la variable y respecto de la variable
x (es por eso que, frecuentemente, para remarcar este hecho, se utiliza la
dy
notaci´
on dx
para representar dicha derivada).
Supongamos que tenemos, ahora, una funci´
on de dos variables. Por ejemplo,
lapresi´on de un gas ideal como funci´
on del volumen y la temperatura del
gas puede expresarse:
cT
P =
V
donde c es una constante. Si estamos interesados en conocer c´omo var´ıa la
presi´on en funci´
on del volumen, a temperatura constante T0 , parece l´
ogico
calcular la derivada de P respecto de V suponiendo constante la temperatura, es decir, calcular la derivada de la secci´on transversal dela funci´
on
para
T
=
T
.
P = f (V, T ) = cT
0
V
En este tema se ver´a que este procedimiento intuitivo es perfectamente v´
alido y que esta derivaci´
on parcial permitir´
a obtener un mejor conocimiento
de las funciones de varias variables.

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6.1.

Derivadas parciales

La derivada de una funci´
on de una variable, f (x), en un punto x0 se define
como
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) := l´ımh→0
h
y dicho valor, si existe, representa la pendiente de la recta tangente a la
curva y = f (x) en el punto (x0 , f (x0 )). Como ya se ha dicho antes, tambi´en
df
se utiliza la notaci´
on dx
(x0 ).
De forma similar, las derivadas parciales de una funci´
on f (x, y) se definen
formalmente como l´ımites:
Definici´
on 6.1 Si f es un campo escalar de dos variables, las derivadas
parciales de f en unpunto (x0 , y0 ) est´an definidas como
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´ım
h→0
∂x
h
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = l´ım
h→0
∂y
h
si estos l´ımites tienen sentido y existen. Observa que puede ocurrir que s´olo
exista una de las derivadas parciales o ambas o ninguna. Tambi´en se suele
∂f
′
utilizar la notaci´
on fx′ (x0 , y0 ) = ∂f
∂x (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) = ∂y (x0 ,y0 ).
La derivada parcial en un punto (x0 , y0 ) es un n´
umero real. Cuando las
derivadas parciales pueden calcularse en puntos gen´ericos (x, y) entonces estamos definiendo una nueva funci´
on escalar, que se llama funci´
on derivada
∂f
∂f
parcial y que seguimos denotando por ∂x (x, y) ( ∂y (x, y), respectivamente).
En ocasiones, prescindiremos del punto gen´erico y escribiremos, simplemen∂fte, ∂f
∂x ( ∂y , respectivamente). Esta derivada parcial coincide con una derivaci´on ordinaria (respecto de una variable). Para verlo, considera la secci´on
transversal de f (x, y) para y = y0 ; es decir, la funci´
on f (x, y0 ). Esta funci´
on
s´olo depende de la variable x y podemos calcular la derivada de esta funci´
on
en x0 , obteniendo:
d
f (x, y0 )
dx

∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
=
(x0, y0 )
h→0
h
∂x

= l´ım
x = x0

es decir, que la derivada parcial de f respecto de x es la derivada de la
secci´
on transversal de f correspondiente. Por tanto, la derivada parcial puede
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calcularse con las reglas de derivaci´
on ordinarias, suponiendo constante la
variable y.
An´
alogamente, la derivada parcial de f respecto de y es la derivada de la
secci´
on transversal de f para x = x0 .Por tanto, la derivada parcial puede
calcularse suponiendo constante la variable x.
Ejemplo 6.1 Si f (x, y) = 5x2 y − sin(x + y), podemos diferenciar f con
respecto a x, considerando y como una constante, y obtenemos
∂f
(x, y) = 10xy − cos(x + y) .
∂x
De manera similar, si consideramos que la x es constante y derivamos respecto a y, obtenemos una funci´
on,
∂f
(x, y) = 5x2 − cos(x + y) .
∂yEjemplo 6.2 Calcula las derivadas parciales de la funci´
on f (x, y) = x7 y −
x−y
e .
Soluci´
on: En este caso podemos calcular las derivadas parciales en cualquier
punto (x, y) por el procedimiento de suponer constante una de las variables.
As´ı pues,
∂f
(x, y) = 7x6 y − ex−y
∂x
∂f
(x, y) = x7 + ex−y
∂y

Ejercicio 6.1 Calcula las derivadas parciales de f (x, y) = x arctan(xy).
(Sol.:

∂f
∂x (x,...