DERIVADAS2

MATEMÁTICAS I

1ºBACHILLERATO CIENCIAS
EXAMEN DERIVADAS 2

1.- Utilizando la definición, calcula la función derivada de la función
f(x) = x2 − 5x + 7 ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en x =-1?(1 punto)
2.- Dibuja una función que tenga derivada nula en x = −1 y x = 1 , derivada negativa en
el intervalo (−1,1) y positiva para cualquier otro valor de x.
(1 punto)

3.- Halla las derivadasde las siguientes funciones:
a) y =

2x3 − 3x2 + 2
5x

⎡ x2 − 3 ⎤
c) y = ln ⎢ 2
⎥
⎣⎢ x + 3 ⎦⎥

(3 puntos)
b) y = cos x − sen x

d) y = (x2 + 3x) ⋅ e −2x +1

4.- Halla razonadamente un punto de lafunción y = x2 + x + 1 en el que la recta
tangente sea paralela a la recta de ecuación y = 3x + 7 . Halla también la ecuación de
dicha recta tangente.
(1,5 puntos)
⎧ a
⎪⎪ x si x ≤ −1
5.- Encuentra losvalores de a y b para los que la función f(x) = ⎨ 2
⎪ x − b si x > −1
⎪⎩ 2
es continua y derivable en R.
(2 puntos)

6.- Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d . Halla a, b, c y d sabiendo que tieneextremos
relativos en (0,6) y (-2,10).

(1,5 puntos)

MATEMÁTICAS I

1ºBACHILLERATO CIENCIAS
SOLUCIONES

f (x + h) − f (x)
, de
h →0
h

La función derivada es f ' ( x ) = lim

1.- f ( x) = x 2 − 5 x +7

donde:
( x + h) 2 − 5( x + h) + 7 − ( x 2 − 5 x + 7)
x 2 + h 2 + 2 xh − 5 x − 5h − x 2 + 5 x − 7
= lim
=
f ' ( x) = lim
h →0
h →0
h
h
h(h + 2 x − 5)
h 2 + 2 xh − 5h
= lim
= lim
= lim(h + 2 x − 5)= 2 x − 5
h →0
h →0
h →0
h
h
La pendiente de la tangente en x=-1 será f ' (−1) = 2 ⋅ (−1) − 5 = −7
2.- Una función que cumpla las características
pedidas, tendrá que ser decreciente (derivadanegativa) en el intervalo (-1,1) y creciente en el
resto. Por lo tanto, tendrá un máximo en –1 y un
mínimo en 1, por ejemplo la gráfica de la derecha
cumple las condiciones.

3.- a) y =
=

2x3 − 3x2 + 2
5xy' =

(6x2 − 6x) ⋅ 5x − (2x3 − 3x2 + 2) ⋅ 5
(5x)2

30x 3 − 30x 2 − 10x 3 + 15x 2 − 10
25x 2

b) y = cos x − sen x
⎡ x2 − 3 ⎤
c) y = ln ⎢ 2
⎥
⎢⎣ x + 3 ⎥⎦
y' =

12x

(x2 − 3)(x2 + 3)

y' =

y' =

=...