DERIVADASEINTEGRALES

Diferencias y
diferenciación
numérica

Derivadas
• La derivada de la función y=f(X) es una medida de como cambia y de x.

• La función diff encuentra la diferencia entre valores de elemento de un
vector.
• X=0:5
• Y= [15,10,9,6,2,0]
delta_x = diff(X)
delta_x= 1 1 1 1 1
La diferencia de los valores de y
delta_y = diff(X)
delta_y= -5 -1 -3 -4 -2

• Para encontrar la pendiente, sólo se necesitadividir dife_y
entre dife_x.
• pendiente=dife_y./dife_x
• -5 -1 -3 -4 -2

• pendiente=diff(y)./diff(x)
• pendiente = -5 -1 -3 -4 -2

• Ajustar los valores de x al promedio y graficar
• x=x(:,1:5)+diff(x)/2
• bar(x,pendiente)

• dif también se puede utilizar para aproximar numéricamente
una derivada siempre y cuando se conozca la relación de x y y.
• y=x^2 podría crear un conjunto de paresordenados para
cualquier numero de valores de x
• figure(3)
• x=-2:2
• y=x.^2
• g_x=-2:0.1:2
• g_y=g_x.^2
• plot (g_x,g_y,x,y,'-o')
• x=-2:2
• y=x.^2

y=x^2

Pendiente de y=x^2

Con mas puntos
• figure(4)
• x=-2:0.5:2
• y=x.^2
• plot(g_x,g_y,x,y,'-o')
• dife9=diff(y)/diff(x)
• x9=x(:,1,8)+diff(x)./2
• %modelo de nueve punto
• figure(5)
• bar(x9,dife3)

•
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•
•
•

figure(9)
plot(g_x,g_y,'-o')dife41=diff(g_y)./diff(g_x)
x41=g_x(:,1:40)+diff(g_x)./2
bar(x41,dife41)

LIMITES
• MATLAB permite calcular limites de funciones directamente
mediante el comando limit que sigue el siguiente formato.

• limit(f,x,a)
• Calcular el limite de la función f , cuando la variable x tiende al
punto a
• Si f es una función de única variable, no es necesario
especificarla en el formato
• limit(f,a) ó bienlimit(f) que equivale a limit (f,0)

Limites
• En el calculo de limites laterales se puede utilizar la opción
• limit(f,x,a,’left’)
• limit(f,x,a,’right’)
• Se puede utilizar la capacidad del comando limit para obtener
vectores a la hora de calcular el limite de varias funciones al
mismo tiempo.
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•
•
•
•

%limit (f,x,a)
syms x
limit((1+1/x)^x,x,inf)
syms t, limit((1+t)^(1/t))
syms x, limit([1/x^2,sin(x)/x,log(x)],x,0,'right')

Ejemplo

Factorizar la función
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•
•
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% factorizar la funcion
syms x % definición de variable tipo simbólico
P=x^3-9*x^2-45*x-91
P1=factor(P) % factorar la expresión
f=P1/(x-13)
x=13
limite=eval(f) % evaluación de la función

Graficacion
• %Utilizando la orden ezplot función básica para graficar f en [2p , 2p ]
•
• ezplot (f,[-15,15]); grid on
• %Convectores de puntos
• x=10:.1:14;
• y=x.^2+4*x+7
• plot(x,y,'r')
• hold on
• plot([13 13],[200 240])

Incremento de X
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•
•
•
•
•

%incrementando x
syms x
f='(x^3-9*x^2-45*x-91)/(x-13)'
a=13;
for k=1:1:10
x=a+(1/2)^k;
fprintf('%f %f \n', x, eval(f))
end

Diff
• Tambien permite calcular derivadas de expresión algebraica o de
una función de una o mas variables
•
•

dif(funcion,variable,k)dif('expresion',variable,k)

• obtendremos la k‐ésima derivada de la función o expresión que
tecleemos
• respecto de la variable introducida en segundo lugar.
• Si no se indica en tercer lugar un número entero k, MatLab considera
• k=1.
• Si no hay posibilidad de confusión en cuanto a la variable, podemos
• omitirla.

Formatos
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Funcionan los formatos siguientes:dif(funcion,k,variable)
dif('expresion',k,variable)
%Supongamos que queremos hallar las derivadas no nulas del
polinomio
%f(x)=ax³+bx²+cx+d.
%Podemos hacerlo como sigue:
syms a b c d x
f=a*x^3+b*x^2+c*x+d
% resultado f = a*x^3+b*x^2+c*x+d
f1=diff(f) %sin especificar la variable
% resultado f1 = 3*a*x^2+2*b*x+c 5

•
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f1=diff(f,x) %también calcula la derivada primera
% resultado f1 = 3*a*x^2+2*b*x+cf2=diff(f,x,2) %derivada segunda
% resultado f2 = 2*b+6*a*x
f3=diff(f,x,3) %derivada tercera
%f3 = 6*a
diff(f,3) %lo mismo sin indicar la variable, el programa
considera que es x

•
• diff(f,x,4) %a partir de ésta, las sucesivas derivadas son nulas
• fb=diff(f,b) %derivamos respecto del segundo coeficiente

• Para derivar una constante, debemos primero definir la
• constante como una expresión...