derivados

1. Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.

Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretaci´n
o
geom´trica
e

Vamos a ver en este cap´
ıtulo la generalizaci´n del concepto de derivada de funciones reales de
o
una variable a funciones vectoriales con varias variables basada en la interpretaci´n geom´trica
o
e
de la derivada como la pendiente de la rectatangente a la gr´fica de una funci´n en un punto.
a
o
Para una funci´n f : (a, b) −→ R se define la derivada en un punto t0 ∈ (a, b) como el l´
o
ımite
f (t) − f (t0 )
= f (t0 )
lim
t→t0
t − t0

(t, f (t))

f (t)

Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.

(t0 , f (t0 ))
f (t0 )
t0

αt
α
t

f (t) − f (t0 )
= tan αt son las pendientes de las rectas set − t0cantes a la gr´fica de f por los puntos (t0 , f (t0 )) y (t, f (t)). La existencia de la derivada se
a
interpreta como la existencia de una posici´n l´
o ımite de las rectas secantes, cuando t tiende a t0 ,
que es la recta de pendiente tan α = f (t0 ). Esa recta l´
ımite de las secantes es por definici´n la
o
recta tangente a la gr´fica de f en t0 , o mejor dicho, en (t0 , f (t0 )), y suecuaci´n ser´
a
o
a
Geom´tricamente, los cocientes
e

Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretaci´n
o
geom´trica
e

Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.

y = f (t0 ) + f (t0 )(x − t0 )
Esta definici´n de la recta tangente se generaliza de forma inmediata a funciones vectoriales
o
de una variable:
Sea F : (a, b) −→ Rm , y t0 un punto de (a, b).Para otro punto t ∈ (a, b) podemos estudiar
la recta secante a la imagen de F que pasa por F (t0 ) y por F (t). Si estas rectas tienden a una
posici´n l´
o ımite cuando t tiende a t0 , ´sa ser´ la recta tangente a la imagen de F en F (t0 ).
e
a

t
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretaci´n
o
geom´trica
e

F
t0

F (t)

F (t0 )

Derivadas de . . .Derivadas . . .
Derivadas parciales.

Un vector director de la recta secante que pasa por F (t0 ) y por F (t) ser´ F (t) − F (t0 ),
ıa
pero este verificar´ si F es una funci´n continua, que el l´
ıa,
o
ımite cuando t tiende a t0 es cero.
F (t) − F (t0 )
Consideramos entonces los vectores
, que tienen la misma direcci´n, ya que son
o
t − t0
proporcionales a los anteriores.

Definici´n(Derivadas de funciones de una variable. Recta tangente.).
o
Sea F : (a, b) −→ Rm y t0 ∈ (a, b). Se define la derivada de F en t0 como
F (t0 ) = lim
Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretaci´n
o
geom´trica
e

t→t0

F (t) − F (t0 )
∈ Rm
t − t0

si este l´
ımite existe.
Se llama recta tangente a la imagen de F en F (t0 ) a la recta que pasa por F (t0 ) y tiene
vectordirector F (t0 ). Su ecuaci´n, en forma param´trica, es
o
e
x = F (t0 ) + λF (t0 )

λ∈R

(donde x es un vector de Rm )
Derivadas de . . .
Derivadas . . .
Derivadas parciales.

Observaciones:
1) Si escribimos las componentes de F , F = (f1 , . . . , fm ), fi : (a, b) −→ R entonces
F (t) − F (t0 )
=
t − t0

f1 (t) − f1 (t0 )
fm (t) − fm (t0 )
,...,
t − t0
t − t0

y por tanto,si existe la derivada de F en t0 , ser´
a
F (t0 ) = (f1 (t0 ), . . . , fm (t0 ))

En particular, por ejemplo para que F sea derivable, cada componente fi debe ser derivable,
y por tanto continua, luego F tienen que ser continua en t0

Derivadas
direccionales,
derivadas
parciales.
Interpretaci´n
o
geom´trica
e

Derivadas de . . .

2) Volvamos a considerar funciones reales f :(a, b) −→ R. La gr´fica de f se puede describir
a
2
como la imagen de la funci´n F : (a, b) −→ R definida por F (t) = (t, f (t)).
o
F

a

t

b
a

Derivadas . . .
Derivadas parciales.

(t, f (t))

f (t)

t

b

Aparentemente tendr´
ıamos dos definiciones de la recta tangente a la gr´fica de f en (t0 , f (t0 )):
a
por un lado,
y = f (t0 ) + f (t0 )(x − t0 )
y por otro lado...