derivas

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad ZabalFUNCIÓN DERIVADA. PROPIEDADES
Si una función f ( x ) tiene derivada en todos los puntos de un conjunto A Œ D, se dice que f es
derivable en A. En este caso, se puede definir una nueva función se denotapor f ' ,

df
o Df y se
dx

f ( x + ∆x) - f (x )
.
∆x
∆x →0

llama función derivada de f dada por f ' : A → Ñ con f ' (x) = lim

Aplicando la definición de derivada se obtienen lassiguientes reglas de derivación que indican
como obtener la función derivada de las funciones elementales más utilizadas.

f (x) = c

⇒

f '( x ) = 0

⇒

f '( x ) = ax a −1

f ( x ) = ax con a> 0

⇒

f '( x ) = ax ln a

f (x) = e x

⇒

f '( x ) = e x

f ( x ) = loga x con a > 0

⇒

f ( x ) = ln x

⇒

f ( x ) = senx
f ( x ) = cos x
f ( x ) = tgx

⇒

1
1
loga e =x
x ln a
1
f '(x ) =
x
f '( x ) = cos x
f '( x ) = −senx

f (x) = x

a

⇒
⇒

f ( x ) = arcsenx

⇒

f ( x ) = arccos x

⇒

f ( x ) = arctgx

⇒

f '( x ) =

f '( x ) =
f'( x ) =
f '( x ) =

f '( x ) =

1
2

cos x
1

= 1 + tg2 x

1 − x2
−1
1 − x2
1

1 + x2

Propiedades
1. Si f y g son dos funciones derivables entonces f + g también lo es y (f +g)'( x ) = f '( x ) + g '(x ) .
2. Si f es una función derivable y t un número real cualquiera entonces t.f también lo es y
(t. f )'( x ) = t f '(x )
3. Si f y g son dos funciones
(f . g)'( x ) = f'( x )g( x ) + f ( x )g '(x ) .

derivables,

4. Si f y g son dos funciones derivables

entonces,

con g(x) ≠ 0

f.g

entonces

también
f
g

lo

es

y

también lo es y

'⎛f ⎞
f '(x )g(x ) − f (x )g '( x)
⎜ ⎟ (x) =
⎝g⎠
( g(x))2

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