Derivasa

Derivada
Es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
Las funciones presentan una diversidad tal que es casi imposible descubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una claserestringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas no triviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún a recibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas.
La definición dederivada es la siguiente:
[pic]
Podría no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada uno de los términos que aparecen en la formula anterior.
Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

Tasa de variación media

Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemosque a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo.  [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, esdecir:

T.V.M. [a, b] = [pic]
 

Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).
La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería [pic].
 
Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
[pic]
A este valor se le llama la derivada de la función f en elpunto a y se designa por [pic], por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

[pic]=[pic]

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.
Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

[pic]

 
Proposición. Toda. funciónderivable en un punto es continua en dicho punto.
El recíproco es falso.

Ejemplo  [pic] es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada

Consideremos la función espacio E= E(t).
La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=[pic], que es lo que en Física llaman la velocidad media en ese intervalo de tiempo, sicalculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiendehacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
 
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) ytiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la...