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Los números metalicos
Los números metálicos son un conjunto de números singulares, positivos e irracionales cuadráticos que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se generan a partir de las raíces positivas de la siguiente ecuación general de segundo grado (cuadrática):
x2 - p x - q = 0
Donde los parámetros p y q son números naturales.
Los números metálicos másconocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos a la matemática argentina Vera Martha Winitzky de Spinadel, nacida en Buenos Aires (Argentina) en 1929.
Casos particulares:se obtienen al ir variando sólo uno de los dosparámetros p; q=1.
Consideremos pues en primer lugar el grupo de ecuaciones:
Si p = 1 tenemos la ecuación , de solución positiva , es decir obtenemos el número de oro
Si p = 2 tenemos la ecuación , de solución positiva , obtenemos el número llamado de plata y designado por θ
Si p = 3 tenemos la ecuación , de solución positiva , obtenemos el número que se conoce como de Bronce y se denota por σBrEste proceso puede seguir indefinidamente y obtendríamos los números metálicos .

Análogamente si consideramos p fijo e igual a 1 y q variando, tenemos el siguiente grupo de ecuaciones:
Si q = 1 tenemos la ecuación ya conocida, de solución positiva , es decir, tenemos el número de oro φ
Si q = 2 tenemos la ecuación , de solución positiva 2 que se conoce como número de cobre σCu
Y asíiríamos obteniendo una familia infinita de números metálicos.
Otra forma de generarlos es por medio de la Fracción continua:
La ecuación general puede ser reordenada en la forma:
X = p + q / X
Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:
X = p + q / (p + q / X)
Operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continúa

que tambiénpuede ser escrita mediante la expresión algebraica:

Valor aproximado de los Números metálicos
Nombre
p
q
Valor
Oro
1
1
1,618033989...
Plata
2
1
2,414213562...
Bronce
3
1
3,302775638...
Cobre
1
2
2.000000000...
Níquel
1
32,302775638...
Platino
2
2
2,732050808...












El número de oro
Los orígenes.
La proporción áurea está formulada ya en los Elementos de Euclides (s.III a.C.), en una construcción geométrica denominada División de un segmento en media y extrema razón. La idea es tan simple como perfecta: El todo se divide en dos partes tal que, la razónproporcional entre la parte menor y la mayor, es igual a la existente entre la mayor y el total, es decir, la suma de ambas. El número de oro es la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento. En un segmento de longitud unidad tenemos:

De la definición , de donde , ecuación de 2º grado de soluciones , tomando la solución positiva la razón de la proporción es:= nº áureo.

Otrademostración:
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:

Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Propiedades algebraicas
es el único número real positivo tal que:

Laexpresión anterior es fácil de comprobar:


φ posee además las siguientes propiedades:



Representación mediante fracciones continuas
La expresión mediante fracciones continuas es:

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que...