Derive

Prácticas de Matemáticas I y Matemáticas II con DERIVE-5

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4. ANÁLISIS DE VARIABLE

FUNCIONES

DE

UNA

En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable. En la parte final hay ejercicios propuestos. 4.1. PROPIEDADES GENERALES Y GRÁFICAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE. EJEMPLO 4.1. x2 Dada la función f ( x) = 2 se pide: x −4 (a) Representarla función gráficamente. (b) Estudiar el comportamiento de la función: dominio, rango, asíntotas, intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión. Solución: (a) Para representar la función, se introduce la expresión “x^2/(x^2-4)”

y a continuación aplicamos Ventana-Nueva ventana 2D. En la nueva ventana se aplica y se obtiene

(b) En este caso, dela gráfica de la función se puede deducir directamente información que utilizaremos en el análisis de este apartado y que se obtendrá de forma alternativa con el estudio analítico correspondiente.

Análisis de funciones de una variable

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• DOMINIO. Para estudiar el dominio se buscan los valores de x para los cuales f(x) es un número real, o, si se utiliza la representación anterior, losvalores de x para los cuales “hay gráfica”. Obsérvese que en nuestro ejemplo, para x=2 y x=-2, no existe la función, ya que estos son justamente los valores que anulan el denominador. • RANGO. Gráficamente el rango de la función es el conjunto de números del eje OY en los que “existe la gráfica”. Como puede verse, en este caso el rango de la función es todo el conjunto de números reales menos elintervalo (0,2] es decir en R\(0,2]. • ASÍNTOTAS. Asíntotas verticales. La función, como se ve gráficamente, tiene dos asíntotas verticales, las rectas x=2 y x=-2. Analíticamente, para determinar las asíntotas verticales x2 x2 estudiamos los siguientes límites lim+ 2 y lim− 2 . Para calcular el primer límite, x → −2 x − 4 x → −2 x − 4 y en la ventana se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se elige elbotón de herramientas de diálogo correspondiente al cálculo de límites se introducen la variable “x”, el punto -2 y en el campo “Aproximación desde” se elige la opción “derecha”. Finalmente se hace clic en y obtenemos

que tras simplificar con

se obtiene

Es decir cuando x se aproxima a –2 por la derecha la rama de la gráfica se va -∞. Para calcular el segundo límite se repite el procesoanterior, pero en el campo “Aproximación desde” se elige la opción “izquierda” y obtenemos las expresiones

se observa que cuando los valores de x se aproximan a –2 por la izquierda la rama de la gráfica se va a infinito. Asíntotas horizontales. Gráficamente se ve que la recta y=1 es la única asíntota horizontal de la función. Obsérvese que analíticamente los siguientes límites nos informan de laexistencia de dicha asíntota.

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• INTERVALOS DE CRECIMIENTO /DECRECIMIENTO. En la gráfica se observa que en (-∞,-2)∪(-2,0) la función es creciente, y en (0,2)∪(2,∞) la función es decreciente. El estudio analítico de los intervalos de crecimiento y decrecimiento utiliza la función derivada. Por tanto, se calcula en primer lugar laderivada (derivada de primer orden) de la función. Para ello se edita la expresión “x^2/(x^2-4)”, se aplica y la ventana de diálogo que aparece nos aseguramos de que los campos “variable” y “orden” tengan asignados los valores “x” y “1” respectivamente y a continuación se elige la opción y se obtiene

Como la función es creciente en aquellos valores en los que la derivada es positiva, 8xdebemos resolver la inecuación − 2 > 0 . Para ello se introduce la expresión ( x − 4) 2 “-8x/(x^2-4)^2>0” mediante

se aplica y en la ventana de diálogo se comprueba que los campos “Método” y “Dominio” tengan asignados las opciones “Algebraico” y “Complejo” y finalmente se elige la opción obteniéndose el resultado:

Por tanto, los intervalos de crecimiento son (-∞,-2)∪(-2,0). Para determinar los...