Desacrtes









Integrantes del equipo: Daniela Hernández César
Eduardo Ochoa Mendoza
Nicole Figueroa de la Peña
Alberto Garza Zapata

Nombre del trabajo: Regla de los signos de Descartes

Fecha de entrega: 04/04/2013

Campus: Toluca

Carrera /Prepa: Bachillerato Bicultural

Semestre/Cuatrimestre: 4to semestre

Nombre del maestro: Gustavo Israel Castro VázquezContenido
















Regla de los signos de Descartes

“El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).”
Introducción
La regla de los signos de Descartes fue propuesta por el filósofo y matemáticofrancés René Descartes en su obra La Géométrie, de 1637, aunque no la demostró. Más adelante, en 1707, Isaac Newton reformuló dicha regla, aunque tampoco dio una demostración de la misma (se piensa que consideró demasiado trivial dicha demostración). La primera prueba conocida de este resultado se debe al matemático francés Jean-Paul de Gua de Malves, en 1740. Tuvo que ser nuestroadmirado Gauss quien, en 1828, mostró que si no hay tantas soluciones como cambios de signo, entonces el número de soluciones difiere del número de cambios en un múltiplo de dos.
¿Que hace?
Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el número de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuación polinómica con el número de raíces positivas de dicha ecuación. Por desgracia no da unacantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar información muy interesante sobre la cantidad de raíces positivas de la ecuación. Es decir, que el número de cambios de signos que se produzcan entre los coeficientes es una cota superior del número de raíces positivas de la ecuación.
Demostración de la regla de los signos de Descartes Supongamos que tenemos un polinomio  de grado n cuyo coeficiente líder (el coeficiente correspondiente al monomio de mayor grado) es 1 (no perdemos generalidad con esta suposición). Supondremos también que el término independiente del polinomio no es cero (esto es, que), ya que si lo es podemos sacar factor común un término de la forma  que después se puede eliminar.
Vamos a probar esta regla porinducción en n:
Para n=1, esto es, para polinomios de grado 1, el resultado es inmediato, ya que si la ecuación es  con  (un cambio de signo) la única solución es  (una solución positiva). Si es  con  (ningún cambio de signo) la única solución es  (ninguna solución positiva).
Supongamos entonces que  es un polinomio de grado, con coeficiente líder igual a 1 y con. Distinguimos dos casos:

1.Si , entonces el número de cambios de signo de la ecuación debe ser impar, ya que comenzamos en un número positivo, el 1, que es el coeficiente líder, y terminamos en un número negativo, . Veamos que el número de raíces positivas de la ecuación también es impar.
2. Vamos con el caso . Si la ecuación no tiene soluciones positivas, entonces la condición que queremos comprobar se cumple, ya que cero esun número par. En el caso de que la ecuación tenga alguna solución positiva, llamemos k a una de ellas. Como antes, tenemos que , siendo  un polinomio de grado  tal que  es negativo (ya que k es positivo y  también). Podemos aplicar la hipótesis de inducción a , lo que nos dice que ese polinomio tiene un número impar de raíces positivas. En consecuencia,  tiene un número par de raíces positivas(todas las de  junto con k).

Lo que nos dice todo esto es que el número de cambios de signo y el número de raíces positivas de un polinomio tiene la misma paridad (o los dos son pares o los dos son impares). Es decir, que esos dos números son iguales o difieren en un múltiplo de dos.
Nos queda probar que hay más cambios de signo que raíces positivas, es decir, que el número de cambios de...