Desarrollo Humano

Sistemas de ecuaciones lineales homog´neas
e
Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homog´neas (son aquellas ecuaciones
e
lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar que la soluci´n general de estos
o
sistemas se puede escribir como una combinaci´n lineal de n − r vectores, donde n es el
o
n´mero de las inc´gnitas y r es el n´mero de los renglones no nulos en laforma escalonada.
u
o
u
1. Definici´n (sistema de ecuaciones lineales homog´neas). Un sistema de ecuao
e
ciones lineales homog´neas es un sistema de la forma Ax = 0, esto es, con columna de
e
constantes nula.
2. Observaci´n. Todo sistema de ecuaciones lineales homog´neas es compatible, porque
o
e
el vector cero es una de sus soluciones, llamada soluci´n trivial. Para un sistema de
oecuaciones lineales hay dos casos posibles:
(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una soluci´n (la trivial);
o
(b) puede ser compatible indeterminado, esto es, tener por lo menos una soluci´n no
o
trivial.
En cada ejemplo hay que determinar cu´l situaci´n tiene caso y describir el conjunto de
a
o
todas las soluciones.
3. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema deecuaciones lineales homog´neas:
e

 3x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 0;
8x1 − 5x2 − 4x3 + x4 = 0; .

−2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0.
Soluci´n. La columna de constantes es nula y sigue siendo nula al aplicar operaciones
o
elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar
con la matriz de coeficientes.

 R2 += −8R1


1 −2/3 1/3 4/3
3 −2
14
1
R ∗= 3
R+= 2R1
 8 −5 −4 1  −1− →  8
−5 −4
1  −− − −
−−
−3 − − →
−2
1
6
7
−2
1
67


1
0
0

1
0
0







R1 += 2 R2
3

−2/3
1/3
4/3
1 −2/3 1/3 4/3
R3 += 1 R2
R ∗= 3
1/3 −20/3 −29/3  −2− →  0
1 −20 −29  − − − →
−−
− − 3−
−1/3
20/3
29/3
0 −1/3 20/3 29/3

0 −13 −18
1 −20 −29  .
0
0
0
p´gina 1 de 4
a

Por ser un sistema de ecuacioneslineales homog´neas, el sistema es compatible. Como
e
r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los
pivotes est´n en las columnas 1 y 2, por eso expresamos x1 y x2 a trav´s de las variables
a
e
x3 y x4 :
x1 = 13x3 + 18x4 ;
x2 = 20x3 + 29x4 .
Soluci´n general:
o



13x3 + 18x4
 20x3 + 29x4 
,
x=


x3
x4

x3 , x4 ∈ R.

Notemos que lasoluci´n general se puede expandir en una combinaci´n lineal de dos
o
o
vectores constantes:




13
18
 20 
 29 



x = x3 
x3 , x4 ∈ R.
 1  + x4  0  ,
0
1
Se dice que los vectores



13
 20 

u1 = 
 1 ,
0




18
 29 

u2 = 
 0
1

son soluciones b´sicas de este sistema de ecuaciones. Hay que hacer la comprabaci´n para
a
olos vectores u1 y u2 . La hacemos en forma matricial:



 13 18
3 −2
14 

 8 −5 −4 1   20 29 
 1 0
−2
1
67
01



39 − 40 + 1 + 0
54 − 58 + 0 + 4
00
=  104 − 100 − 4 + 0 144 − 145 + 0 + 1  =  0 0  .
−26 + 20 + 6 + 0 −36 + 29 + 0 + 7
00

pagina 2 de 4
´

4. Ejemplo.

 −2x1 + 4x2 + 5x3 = 0;
5x1 + x2 − 3x3 = 0;

6x1 − x2 + 4x3 = 0.
Soluci´n.
o


−2
4
5
R ↔ R2
5
1 −3  −1− → 
−−
6 −1
4



1
9
7
R ∗= 2
0
22
19  −3− → 
−−
0 −55 −38



5
1 −3
1
9
R += 2
 −1− −R2  −2
−2
4
5
4
−−−
→
6 −1
4
6 −1


1
9
7
19
R += 5
 −3− −R2  0 22
0
22
19
−−−
→
0 −110 −76
00


7
R2 += 2R1
R += − R
 −3− − 6−1
5
− − −→
4

7
19  .
19

Ahora la matriz del sistema esescalonada, y el n´mero de los renglones no nulos es
u
r = 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la unica soluci´n es la
´
o
trivial: x = 0.
En este ejemplo no hay sentido hacer la comprobaci´n para x = 0. Ser´ m´s imo
ıa a
portante comprobar que la matriz del sistema en forma escalonada efectivamente tiene 3
renglones no nulos (en otras palabras, que el rango del...