desarrollo humano

Combinaciones con repetición
En combinatoria, las combinaciones con repetición de un conjunto son las distintas formas en que se puede hacer una selección de elementos de un conjunto dado, permitiendo que las selecciones puedan repetirse.
De manera formal, una combinación con repetición es la selección de un multiconjunto cuyos elementos pertenezcan a un conjunto dado.
Índice
1 Enunciado delproblema
2 Definición
3 Cálculo del número de combinaciones con repetición
4 Otras interpretaciones combinatorias
5 Identidades
6 Referencias
7 Bibliografía
8 Véase también
Enunciado del problema
En este caso el problema que se plantea es como sigue: se tienen objetos de n tipos diferentes. ¿Cuántas k-disposiciones se pueden formar usando estos, si no se toma en cuenta el orden de loselementos en la disposición ( en otras palabras, diferentes disposiciones deben distinguirse por lo menos en un objeto)?1
Definición
De manera similar a como los coeficientes binomiales o combinaciones , corresponden al número de formas en que se puede seleccionar un subconjunto de k elementos a partir de un conjunto dado con n elementos, es posible plantear el problema de determinar el número deformas de escoger un multisubconjunto de un conjunto.
Recordemos que en un multiconjunto es permitido repetir elementos aunque, al igual que en los conjuntos, el orden en que se mencionan es irrelevante.
Por ejemplo, {a, e, e, i, o, o, o, u} es el mismo multiconjunto que {e, i, o, u, a, e, o, o}
Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}. Listemos todos los posiblesmulticonjuntos de 3 elementos obtenidos del conjunto X. Para brevedad, indicaremos las letras como si fuesen una palabra:
aaa
aab
aac
aad
abb
abc
abd
acc
acd
add
bbb
bbc
bbd
bcc
bcd
bdd
ccc
ccd
cdd
ddd
Se recalca que el orden no importa, por esto es que no se lista por ejemplo, aca ya que el multiconjunto {a, c, a} es el mismo que el multiconjunto {a, a, c}. Estas seleccionesdonde se permite repetición pero no se toma en cuenta el orden se denominan combinaciones con repetición.

El número de formas en que se puede extraer un multiconjunto con k elementos de un conjunto con n elementos se denota2 3

y corresponde al número de k-combinaciones con repetición tomadas de un conjunto con n elementos.
Así, del listado inicial podemos deducir que .
Cálculo del número decombinaciones con repetición
Antes de establecer una fórmula para el cálculo directo de combinaciones con repetición, plantearemos un ejemplo clásico de problema relacionado con multiconjuntos.
¿De cuántas maneras se puede repartir 10 caramelos a 4 niños?
Vamos a imaginar que los nombres son Alonso, Beto, Carlos y Daniel (que representaremos como A, B, C, D).
Una posible forma de repartir loscaramelos sería: dar 2 caramelos a Alonso, 3 a Beto, 2 a Carlos y 3 a Daniel. Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como
AABBBCCDDD
Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar 1 caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los 9 restantes se los damos a Daniel. Esta repartición la representamos como
ADDDDDDDDDD
De manera inversa,cualquier serie de 10 letras A, B, C, D corresponde a una forma de repartir los caramelos. Por ejemplo, la serie AABBBBBDDD corresponde a:
Dar dos caramelos a Alonso, 5 caramelos a Beto, ninguno a Carlos y 3 a Daniel.
De esta forma, por el principio de la biyección, el número de formas en que se puede repartir los caramelos es igual al número de series de 10 letras (sin tomar en cuenta el orden) A,B, C, D. Pero cada una de ellas corresponde a un multiconjunto con 10 elementos, por lo que concluimos que el número total de formas de repartir los caramelos es .
La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretación combinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer la repartición....