Descarga de un condensador

DESCARGA DE UN CONDENSADOR.

Objetivo

Estudiar la curva de descarga de un condensador y calcular a partir de los resultados obtenidos la capacidad del condensador y la resistencia del voltímetro utilizados.

Fundamento teórico

El estudio del proceso de descarga de un condensador pone de manifiesto una variación no lineal de la carga almacenada en función del tiempo (o lo que esequivalente, una variación no lineal de la ddp entre las armaduras del condensador). La variación de carga, que reviste una gran importancia práctica, sigue una ley exponencial como se verá de un modo resumido a continuación.

Figura 1

Si un condensador de capacidad C se carga inicialmente hasta cierto potencial V0 de modo que adquiere una carga Q0=C.V0 y después se va descargando a través de unaresistencia óhmica externa R, la corriente que en un instante dado t fluye por el circuito depende de la carga Q=Q(t) remanente sobre las placas, de forma que

I=-dQdt
El signo negativo se debe a la disminución de carga con el tiempo. Además, la ddp entre placas en el mismo instante es Q/C, y como la caída de tensión en la resistencia viene dada por V=IR (ley de Ohm), la ley de Kirchoff delvoltaje implica que:

QC-IR=0

Sustituyendo la ecuación (1) en la (2), se obtiene:

QC+RdQdt=0

Resolviendo la ecuación diferencial de primer orden en las condiciones iniciales de carga y tiempo y las correspondientes a un instante de tiempo arbitrario t:

dQdt=-dtRC→Q0QdQdt=-0tdtRC→Qt=Q0e-tRC

Aquí τ=RC, es la constante de tiempo del problema la cual representa el intervalo que la cargadel condensador tarda en decaer hasta 1/e de su valor original. Además, como la carga es proporcional a la ddp podemos obtener:

Vt=V0e-tRC

Método operativo

Una vez cargado el condensador conectándolo a la fuente durante algunos segundos, estudiaremos el proceso de descarga de un condensador mediante dos procedimientos, en cada uno de los cuales mediremos la diferencia de potencial entrelos extremos del condensador cada 5 s.
(i)Descarga a través del voltímetro: La primera descarga la estudiaremos conectando el condensador a un voltímetro, cuya resistencia interna es del orden de 10 MΩ, lo cual permitirá que dicho condensador se descargue poco a poco.

Figura 2

Para comenzar la descarga desconectaremos uno de los terminales, bien de la fuente o bien del voltímetro yempezaremos a tomar datos de voltaje hasta que llegue a un valor razonablemente bajo.

Para poder relacionar los valores de voltaje con los de tiempo, podemos tomar logaritmos en la ecuación (5), de manera que si el voltaje inicial es V10, podemos escribir

lnV10Vi=-1R0Ct

Esta ecuación expresa una relación lineal entre lnV10Vi y el tiempo, de forma que, realizando un ajuste por mínimos cuadrado,la pendiente de este ajuste sería

m1=-1τ1=-1R0C

Recordando que el objetivo de esta práctica es la determinación de la capacidad C y de la resistencia del voltímetro, vemos que con la ecuación (7) no es suficiente, ya que tenemos una ecuación con dos incógnitas. Por esta razón proponemos un segundo método de descarga

(ii)Descarga a través del voltímetro en paralelo con una resistencia:En este segundo montaje conectamos el condensador en paralelo con una resistencia de valor conocido (la medimos con el polímetro), según muestra la figura y repetimos el proceso anterior.

Figura 3

En este caso, el voltaje inicial es V20, y podemos escribir

lnV20Vi=-1ReqCt

Siendo Req la resistencia equivalente del montaje; es decir

Req=R·R0R+R0

En este caso un ajuste por mínimoscuadrado nos daría una pendiente que sería

m2=-1τ2=-1ReqC

De esta forma, podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a partir de los dos ajustes realizados, ya que las constantes de tiempo respectivas son las inversas de las pendientes calculadas. Reescribiendo las ecuaciones (7) y (10) podemos escribir

τ1=R0C

τ2=R·R0R+R0C

Despejando la resistencia R0 de ambas...