Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación


Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación
(Ruffini).
Al estudiar la divisibilidad por x - a demostramos que si un polinomio entero y racional en x se anula para x =a, el polinomio es divisible por x - a. Este mismo principio aplica a la descomposición de un polinomio en factores por el Método de Evaluación. Ejemplos:

a) Descomponer por evaluación x 3 + 2x 2 -x - 2
Los valores que daremos a x son los factores del término independiente 2: + 1, - 1, + 2 y - 2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = - 1, x = 2, x = - 2, y si se anula para algunosde estos valores, el polinomio será divisible por x menos ese valor.
Aplicando la división previamente explicada se verá si el polinomio se anula para estos valores de x y simultáneamente seencontrarán los coeficientes del cociente de la división. En este caso:
1 +2 -1 -2
+1 +3 +2
1 +3 +2 0
+1
El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x = 1, luego esdivisible por (x - 1).
Dividiendo x 3 + 2x 2 - x - 2 entre x - 1 el cociente será de segundo grado y sus coeficientes son +1, +3 y +2, luego el cociente es +1x 2 +3x +2 = x 2 +3x +2 y como el dividendoes igual al producto del divisor por el cociente, se tiene:
x 3 + 2x 2 - x - 2 = (x - 1)(x 2 + 3x + 2)

(factorizando el trinomio) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)
b) Descomponer por evaluación x 3 -3x 2 - 4x + 12

Los factores de 12 son ± (1, 2, 3, 4, 6, 12)


1 -3 -4 +12 Coeficientes del Polinomio
+1 -2 -6
1 -2 -6 +6 Coeficientes del Cociente
+1
De donde el residuo es 6, por lotanto el polinomio no se anula para x = 1, y no es divisible por (x - 1).
1 -3 -4 +12 Coeficientes del Polinomio
-1 +4 0
1 -4 0 +12 Coeficientes del Cociente
-1
El residuo es 12, luegoel polinomio no se anula para x = -1 y no es divisible por x - (-1) = x + 1.
1 -3 -4 +12 Coeficientes del Polinomio
+2 -2 -12
1 -1 -6 0 Coeficientes del Cociente
+2
El residuo es 0,...