descomposición factorial

DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Términos: son expresiones matemáticas que están separadas por signos positivos y negativos.
Factores: son expresiones matemáticas separadas por la multiplicación y la división.
Ejemplos:
ax + 3bx – 5c
ax con respecto a 3bx son términos porque se suman.
a con respecto a x son factores porque se multiplican.
3bx con respecto a 5c son términos porque se restan.
3con respecto a bx son factores porque se multiplican.
5 con respecto a c son factores porque se multiplican.
Casos de descomposición factorial:
Son 10 casos:
Caso I:
Factor común:
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común, que es divisible para cada uno de ellos.
1. Descomponer en factores a2+2ª.
Observamos que a2 +2ª el factor común a. escribimos el factor a comocoeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir: a2/a = a; 2a /a= 2 y tendremos.
A2 +2a = a(a+2). R.
2. Descomponer 10b-30ab2.
Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos diez porque siempre se escoge el mayor factor común. De las letras tienen en común la b porque esta en los 2 términos. Y en las letras se la toma con su menorexponente que es b (no b2), entonces el factor común es 10b y repetimos el mismo proceso, y tendremos:
10b -30 = 10b(1+3ab).
En síntesis el caso de factor común consiste en observar y escoger, de los números el máximo común divisor, y de las letras cual o cuales se repiten en cada uno de los términos, de lo contrario no saldrá bien la operación, luego dividir el factor común para cada uno de sustérminos.

Caso II:
Factor común por agrupación de términos:
Descomponer ax +bx +ay +by.
Los dos primeros factores tienen el factor común X y los dos últimos el factor común Y. Agrupamos los primeros términos en paréntesis y los dos últimos en otro a continuación del signo del tercer termino que en este caso es el mas y si fuera el signo menos los términos que están dentro del paréntesis iríancon los signos cambiados, y tendremos: ax + bx +by + by = (ay +by) + (ay+by).
= y(a + b) + y(a+b).
= (x + y) (a + b).
La agrupación puede tener varias formas de agruparse como: el 1ero y el 2do, el 3ero y el 4to; el 1ero y el 4to, el 3ero y el 2do; el 1ero y el 3ero, el 2do y el 4to; etc. con tal que la agrupación tenga algún factor común, si esto no se da, la expresión no puede descomponersepor este método, y además pueden ser mas de 4 términos, con tal de que sea un numero par para poder agruparlo de 2 en 2, o de 3 en 3, o de 4 en 4,etc. Si es posible.
Factorar: ax + ay + az + x – y + z = (ax – ay+az) + (x – y + z)
= a(x - y + a) + 1(x- y + z)
= (x – y + a) (a+1)




Caso III:
Trinomio cuadrado perfecto:
Regla para conocer si es un trinomio cuadrado perfecto:
Untrinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y tercero termino son cuadrados perfectos y positivos (no deben ser negativos), y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas (puede ser negativo).
Así, a2 – 4ab + 4y2, es un cuadrado perfecto porque es un trinomio, el primero y tercero termino son positivos, y son cuadrados perfectos porque, la raízcuadrada de a2 es a, la raíz cuadrada de 4y2 es 2y,
El segundo termino es el doble producto se sus raíces cuadradas, 2(a)(2y) = 4ay. Quedando así:
A2 - 4ab + 4y2= (a-b)2
Modo de resolver:
Se saca la raíz cuadrada del primer y tercer término (el trinomio puede estar desordenado), se comprueba si el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas, se introduce dentro de un paréntesis laraíz cuadrada de primer termino seguido del signo del segundo término (+) o (-) y la raíz cuadrada del tercer término, todo eso elevado al cuadrado.
Ejemplo:
4x2 + 25y2 – 20xy.
Ordenando el trinomio nos queda:
4x2 – 20xy + 25y2 = sacamos la raíz del primero y tercero termino.
2x 5y = lo introducimos en un paréntesis separados por el signo del segundo factor, y elevado al cuadrado y...