DESCOMPOSICI N EN FRACCIONES PARCIALES

Scientia Et Technica
ISSN: 0122-1701
scientia@utp.edu.co
Universidad Tecnológica de Pereira
Colombia

MARTÍNEZ A., ALEJANDRO
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
Scientia Et Technica, vol. XII, núm. 31, agosto, 2006, pp. 259-264
Universidad Tecnológica de Pereira
Pereira, Colombia

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=84911639045

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Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
RESUMEN

ALEJANDROMARTÍNEZ A.

En este artículo se estudia el método de Heaviside para descomponer una
fracción propia f ( x) = p( x) / q( x) , es decir, p y q son polinomios, y
grado( p( x)) < grado(q ( x)) . Este tipo de descomposición se utiliza en el
cálculo de integrales de funciones racionales y para encontrar algunas
transformadas inversas de Laplace y se basa en un teorema del álgebra
avanzada, el cual estableceque cada función racional, sin importar que tan
complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones más simples,
5x − 3
2
3
por ejemplo 2
.
=
+
x
+
1
x
−3
x − 2x − 3

Licenciado
en
Educación
con
Especialidad en Matemáticas.
Profesor Auxiliar
Universidad Tecnológica de Pereira.
amartinez@utp.edu.co

PALABRAS CLAVES: Fracción propia., fracciones parciales.
ABSTRACT
This paper studies theHeaviside method for decomposing an own fraction
f ( x) = p( x) / q( x) . That is to say, p and q are polynomials and
deg ree( p( x)) < deg ree(q( x)) . This type of decomposition is used to
calculate integrals of rational functions and to find some inverse Laplace
transforms and it’s based in a theorem of advanced algebra, which it
establishes that each rational function, no matter what complicatedit was,
can rewrites as a sum of fractions most simples, by example
5x − 3
2
3
.
=
+
x 2 − 2x − 3 x + 1 x − 3
KEYWORDS: Own fraction, partial fractions.
1. INTRODUCCIÓN.
La descomposición en fracciones parciales de una
fracción propia es un procedimiento utilizado muy
frecuentemente cuando se va hallar una antiderivada de
una función racional o cuando se quiere encontrar la
transformada inversade Laplace. En la mayoría de los
textos de Cálculo no se hace un tratamiento detallado de
este tema. En [3] se hacen algunas observaciones sobre el
método de Heaviside, pero no se profundiza. Este tema se
encuentra desarrollado en [1] y [2] de una manera más
formal, de donde se ha tomado y se ha ampliado. En este
artículo se asume que los polinomios p(x) y q(x) tienen
coeficientes reales.
2.CONTENIDO.

CASO 1. x = a es una raíz real simple de q(x) , es
decir, q( x) = ( x − a )t a ( x) , con t a (a) ≠ 0 . Entonces
existe una función wa 1 tal que
A
+ wa ( x ) ,
f ( x) =
x−a
y A se calcula de la siguiente manera:

Paso 1. Se multiplica en ambos lados de (1) por x – a
para obtener

p ( x)
= A + ( x − a ) wa ( x) .
t a ( x)
Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde
A=

Empezamos eldesarrollo considerando los posibles caso
que se presentan en la factorización de q(x) .

p(a)
t a (a )

A
Ejemplo 1. Calcule

1

∫x

Los índices en las funciones

x +1
3

+ x 2 − 6x

ta

y

wa

dichas funciones dependen de la raíz a.
Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006
Fecha de Aceptación: 04 Mayo de 2006

.

Este procedimiento se repite para cada raíz simple de
q(x).

2.1. Método algebraico
Este es elmétodo más comúnmente utilizado.
continuación se analizan los casos posibles.

(1)

dx .

se usan para indicar que

Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP

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Solución. Hay que encontrar la descomposición en
x +1
fracciones parciales de f ( x) = 3
. Es decir,
x + x 2 − 6x
hay que hallar constantes A, B y C tales que
f ( x) =

A
B
C
.
+
+
x x−2 x+3

Como p ( x) = x + 1 y q(...