Descomposicion De Factores

No todo polinomio o expresión algebraica acepta el proceso de descomposición factorial, es decir se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1, pues del mismo modo que en aritmética hay números que solo son divisibles por 1 y por ellos mismos, en algebra existen polinomios que solo son divisibles por 1 y por si mismos.
Lo interesante de estas operaciones algebraicas es que fácilmentepodemos saber si hemos efectuado bien el proceso de factorización o su descomposición en factores; para ello lo que debemos es hacer una prueba sencilla que consiste en multiplicar los factores encontrados y así obtendremos la expresión original.
Vamos ver un ejemplo sencillo que nos permite ver en la practica el proceso de factorización para un polinomio de segundo orden o trinomio como tambiénse conoce.

Descomposición Factorial

  Factores
  Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de éstos factores) nos da la expresión primitiva.
  Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene:

  Descomponer en factores o factorizar una expresión algebraica es transformarla en el producto indicado de sus factores

  Factorizar unmonomio
  Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección.
  Así, los factores de 15ab son 3,5, a y b. Por lo tanto, este monomio puede escribirse de la siguiente manera:

  Factorizar un polinomio
  No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo sondivisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad.

   

Caso I
Cuando todos los términos de un polinomio tienen unfactor común

a) Factor común monomio

Luego, para saber si la expresión está correctamente factorizada, basta con efectuar el producto entre los factores obtenidos de la expresión, y dicho producto debe ser equivalente a la expresión que se descompuso.

b) Factor común polinomio

Caso II
Factor común por agrupación de términos

Caso III
T.C.P.: Trinomio Cuadrado Perfecto
Una cantidades cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales.

Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2.

Regla para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando elprimer y tercer término son cuadrados perfectos (o tienen la raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término equivale al doble del producto de éstas raíces cuadradas.

Regla para factorizar un T.C.P.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio ya formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, semultiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.

Caso IV
Diferencia de cuadrados perfectos
En los productos notables se halla el producto suma por diferencia, es decir, el producto entre la suma de dos binomios y su diferencia equivale a una diferencia de cuadrados perfectos. Enunciamos lo siguiente:

Regla para factorizar una diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo yal sustraendo y se efectá el producto entre la suma de éstas raíces cuadradas y su diferencia.

Caso V

T.C.P. por adición y sustracción

Caso VI

que obedecen las siguientes condiciones:

1.    El coeficiente numérico de primer término es la unidad.
2.    El primer término es el cuadrado de una letra cualquiera.
3.    El segundo término tiene la misma letra que el primero con...