Descomposición fracciones parciales
Docente: Martha Guzmán.
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
Cualquier fracción propia P(x) / Q(x), escrita en su mínima expresión se puede descomponer en una suma de FRACCIONES PARCIALES de la siguiente forma:
CASO A):
Si Q(x) tiene un factor lineal no repetido de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales deP(x) / Q(x), contiene un término de la forma: . A . , donde A es una constante a determinar. ( ax + b )
EJEMPLO:
.
5x -1 (x+2)
.
=
. A . ; donde A es la constante a determinar. ( x + 2)
CASO B):
Si Q(x) tiene un factor lineal que se repite k veces, de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma: de la forma ( ax + b ), entonces la descomposición en fracciones parciales
. A1. ( ax + b )1
+
. A2 . ( ax + b )2
+
. A3 . ( ax + b )3
+
………….. + . Ak . ( ax + b )k . + . A3 . ; Donde A1 , A2 y A3 son constantes a
EJEMPLO: . 6x2 - 14x - 27. = . A1 . + .
determinar.
A2
( x - 3)3
( x - 3 )1
( x - 3 )2
( x - 3 )3
CASO C):
Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite:PROCEDIMIENTO 1) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene un término de la forma:
. Ax + B . ; ax2 + bx + c EJEMPLO:
Donde A y B son las constantes a determinar.
. x2 + 1. = . Ax + B . x2+ x + 1 x2+ x + 1
; Donde A y B son las constantes adeterminar.
PROCEDIMIENTO 2) : Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax2 + bx + c ) irreductible en los reales que no se repite, entonces la descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), puede realizarse después de reducir la expresión ( ax2 + bx + c ) ya no en los reales, sino en los números complejos: ( ax2+ bx + c ) = ( x + e + j f ) * ( x + e – j f ) Y entonces la descomposiciónen fracciones parciales de P(x) / Q(x), tiene dos términos de la forma: . A . (x+e+jf ) + . A . ( x+e–j f )
*
EJEMPLO:
.
x2 + 1 . = . x2 + 1 . x+x+1 (x+e+jf ) ( x+e–j f )
2
= .
A
.
+ .
A*
.
(x+e+jf )
( x+e–j f )
Donde A y A* ( Conjugado de A) ,
son las constantes a determinar.
CASO D):
MATEMÁTICAS ESPECIALES. ITM Página # 2 de 6
Docente: MarthaGuzmán. entonces la
Si Q(x) tiene un factor cuadrático de la forma ( ax 2+ bx + c ) irreductible en los reales que se repite kveces, descomposición en fracciones parciales de P(x) / Q(x), contiene términos de la forma:
. A1 x + B1 . + . A2 x + B2 . + . A3 x + B3 . + ………. + . Ak x + Bk . ( ax2 + bx + c )1 ( ax2 + bx + c )2 ( ax2 + bx + c )3 ( ax2 + bx + c )k
Donde A1, EJEMPLO: determinar.B1, A2, B2, A3, B3, Ak, Bk, . x2 - x + 1. (x2 + 2x + 2)2 = . A1x + B1 . (x2 + 2x + 2)1
son las constantes a determinar.
+ . A2x + B2 . ; (x2 + 2x + 2)2
Donde
A1, B1, A2, B2 son las constantes a
CASO E) COMBINACIÓN DE CASOS:
Si Q(x) tiene factores de tal forma que se presente cualquier combinación de los casos anteriores, entonces por cada casose presentará una descomposición enfracciones parciales de P(x) / Q(x), según se dijo anteriormente. EJEMPLOS:
1) .
5x - 1 . (x+2) (x–3)
=
. A . + ( x + 2)
.
B . ; (x–3)
donde A y B son las constantes a determinar.
2)
.
6 x2 - 14x – 27
( x + 8 ) ( x - 5 )3
. = . A . + .
(x+8)
B
. + . C
( x - 5 )2
. + .
D
.
( x - 5 )1
( x - 5 )3
Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.3)
.
3 x2
-
6x
–
2
. = . A . +
(x-4)
. B .
(x+1)
+
. Cx + D
( x2 + x + 1 )
.
( x - 4 ) ( x + 1 ) ( x2 + x + 1 )
Donde A, B, C, D son las constantes a determinar.
4) .
15x3 +
4x2 + x –
2 . = . A . + .
( x + 12 )
B
.+ . Cx + D . + . Ex + F
( x2 + x + 1 ) 1 ( x2 + x + 1 )2
.
( x + 12 ) ( x - 5 ) ( x2 + x +1 )2
(x-5)
Donde...
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