Desconocido

Estructuras algebraicas
Anillo
Un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A), y dos operaciones: suma y producto; de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto es asociativo, posee neutro, llamado unidad (que designamos 1), y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si además el producto es conmutativohablaremos de un anillo conmutativo.
Ejemplo de un anillo
El ejemplo más intuitivo de un anillo es el conjunto de los números enteros:
... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación. La razón por la cual estas tres cosas forman un anillo, es porque cumplen con las siguientes propiedades:
1. Los números enteros están cerrados bajo la suma:dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a+ b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutropara la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Definición formal
Sea A un conjunto no vacío perteneciente al conjunto, y sean y dos operaciones binarias. Se dice que el conjunto es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:
1. | A es cerrado bajo la operación . | |
2. | Laoperación es asociativa. | |
3. | La operación tiene a n como elemento neutro. | |
4. | Existe un elemento simétrico para . | |
Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:
5. | La operación es conmutativa. | |
Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:
6. | A escerrado bajo la operación . | |
7. | La operación es asociativa. | |
8. | La operación es distributiva respecto de . | |
Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:
9. | La operación es conmutativa. | |
Elementos destacados en un anillo
* Elemento cero: denotado por 0. Es el neutro para la suma.
* Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumplepara todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario.
El elemento cero y el elemento unitario sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial ( {0} ), debido a la propiedad distributiva.
* Inverso multiplicativo: si estamos en un anillo que posea un elemento unitario, b es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de a si . Así mismo, ces inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de a si . Un elemento a − 1 se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de a si a − 1 es inverso por la izquierda de a e inverso por la derecha de a, es decir, .
Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).
* Elemento inversible, o elementoinvertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
* Divisor del cero: un elemento es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
* Elemento regular: un elemento de un anillo...