Descripcion Proyecto 1

Proyecto 1: Teor´ıa y fundamentos de conjuntos y
l´ogica difusa
Omar Salazar
Universidad Distrital Francisco Jos´e de Caldas
Facultad de Ingenier´ıa
Bogot´a, Colombia
Email: osalazarm@correo.udistrital.edu.co

I. L ISTADO DE TEMAS

C. Simplificaci´on de f´ormulas difusas

A. Combinaci´on convexa en conjuntos difusos
Dados tres conjuntos difusos A, B y C definidos sobre un
conjunto universal X,con funciones de pertenencia µA , µB
y µC , la combinaci´on convexa definida por Zadeh [28] es una
operaci´on A, B; C con funci´on de pertenencia:
µ

A,B;C

(x) = µA (x)µC (x) + µB (x)(1 − µC (x)),

para todo x ∈ X.
Recientemente [23] se ha usado esta operaci´on para caracterizar la regi´on comprendida entre dos funciones de pertenencia. La combinaci´on convexa podr´ıa ser generalizada a:
µ

A,B;C(x) = (µA (x)

µC (x))

(µB (x)

µC (x)),

para todo x ∈ X, donde , y ¬ son una t-norma, t-conorma
y complemento difuso respectivamente.
Proyecto: Realizar una revisi´on exhaustiva de las referencias. Incluir referencias adicionales. Mostrar un resumen de las
propiedades matem´aticas de la combinaci´on convexa y luego
generalizarla para mostrar cu´ales propiedades se preservan
y cu´ales sepierden. Acompa˜nar dicha teor´ıa con ejemplos
simulados bajo alg´un software de simulaci´on.
B. Tablas de verdad para l´ogica difusa est´andar
Trabajos matem´aticos muestran que aunque la l´ogica difusa
est´andar es representada con valores de verdad en el intervalo
[0, 1], es posible elaborar tablas de verdad por medio de la
l´ogica trivalente de Kleene.
La l´ogica trivalente de Kleene es una l´ogicade tres valores de verdad: {0, u, 1}, donde “0” representa “falso”, “1”
representa “verdadero” y “u” representa “inciertamente 0 o 1”.
Algunos trabajos [4]–[6], [14]–[17] muestran la relaci´on entre
la l´ogica difusa est´andar y la l´ogica trivalente de Kleene.
Proyecto: Realizar una revisi´on exhaustiva de las referencias. Incluir referencias adicionales. Mostrar un resumen de
las condicionesmatem´aticas bajo las cuales es posible elaborar
tablas de verdad para l´ogica difusa usando l´ogica trivalente de
Kleene. Acompa˜nar dicha teor´ıa con ejemplos simulados bajo
alg´un software de simulaci´on.

Contrario al caso cl´asico, donde existen m´etodos para la
simplificaci´on de f´ormulas que involucran los operadores
l´ogicos cl´asicos “o” (∨), “y” (∧) y “no” ( ), por ejemplo los
mapas deKarnaugh o el m´etodo de Quine-McCluskey, en
l´ogica difusa la simplificaci´on de una f´ormula que involucra
los operadores l´ogicos difusos “o” ( ), “y” ( ) y “no” (¬)
no es directa.
Algunos trabajos [2], [9]–[11], [25] muestran algunas propuestas de m´etodos de simplificaci´on en el caso de los
operadores est´andar. Trabajos recientes [8], [18], [20], [24]
muestran nuevos adelantos en el desarrollode simplificaci´on
de f´ormulas difusas con operadores cuasi-est´andar y basado
en el uso de l´ogicas finitas de Kleene y de De Morgan.
Proyecto: Realizar una revisi´on exhaustiva de las referencias. Incluir referencias adicionales. Mostrar un resumen
de las condiciones matem´aticas bajo las cuales una f´ormula
difusa puede ser simplificada. Mostrar los casos cuando los
operadores l´ogicosdifusos son los (cuasi-)est´andar y cuando
no lo son. Acompa˜nar dicha teor´ıa con ejemplos simulados
bajo alg´un software de simulaci´on.
D. Leyes de tercero exclu´ıdo y contradicci´on
A diferencia de la l´ogica cl´asica donde las propiedades
p ∨ p = 1 y p ∧ p = 0 (conocidas como leyes de tercero
exclu´ıdo y contradicci´on respectivamente) se satisfacen plenamente, siendo p cualquier proposici´onbivalente, ∨, ∧ y las
operaciones l´ogicas cl´asicas “o”, “y” y “no” respectivamente;
en la teor´ıa de l´ogica difusa estas mismas propiedades en
general no se satisfacen. En lugar de esto, se verifica que
p ¬p ≤ 1 y p ¬p ≥ 0, donde p es cualquier proposici´on
difusa, ,
y ¬ las operaciones l´ogicas difusas “o”, “y” y
“no” respectivamente.
Debido a la variedad de operadores l´ogicos difusos propuestos...