Desechos

4. Análisis de Sistemas Realimentados
Parte 2 Panorama: Estabilidad y respuesta en frecuencia El criterio de estabilidad de Nyquist Márgenes de estabilidad Robustez

CAUT1 Clase 6

1

Estabilidad y respuesta en frecuencia
Una herramienta clásica y durable para determinar la estabilidad de un lazo de realimentación es el criterio de estabilidad de Nyquist. En el criterio de Nyquist, laestabilidad del sistema a lazo cerrado se determina a partir de la respuesta en frecuencia del sistema a lazo abierto, G0(s)K(s), que se grafica en un diagrama polar.
−270◦

Ejemplo: k0 G0(s)K(s) = (τ1s + 1)(τ2s + 1)

−180◦

ω = +∞

k0 ω =0

0◦

ω↑ G0( jω)K( jω) −90◦

Diagrama polar de G0(s)K(s)

CAUT1 Clase 6

2

Sobre el trazado de diagramas polares
Consideramos el diagramapolar de una función transferencia general de la forma k0 ∏m (βis + 1) i=0 F(s) = k n s ∏i=1(αis + 1) 1. Extremo de bajas frecuencias, ω → 0. Depende del número de polos en 0 de F(s): Si k = 0, el diagrama comienza en el valor real l´mω→0 F(s) = k0, con la fase de k0 (0 o π rad). ı Si k ≥ 1, el diagrama comienza en ∞ con fase −k0 π rad. 2 2. Extremo de altas frecuencias, ω → ∞. Para funcionestransferencia estrictamente propias, el diagrama termina en el origen, con una fase que tiende a −(n + k − m) π . 2

CAUT1 Clase 6

3

−270◦ k=3

Diagrama polar para distintos números de polos en el origen, pero un mismo grado relativo.

−180◦ k=2

ω = +∞

k0 ω =0 k=0

0◦

k=1

−270

◦

−90◦

F( jω)

−180◦

ω = +∞

0◦

Ejemplo: 1 polo en el origen y grado relativo 4.F(s) =
k0 s(τ1s+1)(τ2s+1)(τ3s+1)

ω → 0+ −90◦

CAUT1 Clase 6

4

Bases del criterio de Nyquist
Para explicar el criterio de estabilidad de Nyquist consideremos primero una función genérica F(s), no necesariamente relacionada a un lazo de control. Supongamos que se tiene una curva cerrada orientada Cs en el plano s que encierra Z ceros y P polos de la función F(s). Asumimos que ningúnpolo se encuentra sobre la curva Cs.
imag s F(s) imag F(s)

Cs

CF

real s 0 0

real F(s)

Al recorrer la curva Cs en una dirección, la función F(s) mapeará Cs en otra curva cerrada orientada CF en el plano F.

CAUT1 Clase 6

5

Mostraremos que el número de veces que CF encierra al origen del plano F está dado por la diferencia entre P y Z. Será útil recordar que cada vuelta ensentido horario (antihorario) alrededor del origen de una variable compleja implica que la fase de esta variable cambia en −2π rad (2π rad). Para empezar, supongamos que F(s) = s − c, donde c es un punto en el plano s. Esta es una función simple con un único cero finito en c. Distinguimos dos casos: 1. El punto c está dentro de Cs. A medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F(s) cambiaen −2π rad. Es decir, la curva CF encierra al origen del plano F una vez en sentido horario.

CAUT1 Clase 6

6

2. El punto c está fuera de Cs. A medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F(s) cambia en 0 rad. Es decir, la curva CF no encierra al origen del plano F.
plano s plano s

(s − (s − c)

c)

Cs c c

Cs

CAUT1 Clase 6

7

De forma similar, si la funciónes F(s) = (s − p)−1, podemos ver que a medida que s recorre Cs en sentido horario, la fase de F(s) cambia en +2π rad si p se encuentra dentro de Cs, y 0 rad si se encuentra fuera de Cs (¡pensarlo!). En el caso general en que (1) ∏m (s − ci) i=1 F(s) = k n ∏l=1(s − pl )

cualquier cambio neto en la fase de F(s) surge de la suma de los cambios de fase debidos a los factores (s − ci) menos la sumade los cambios debidos a los factores (s − pl ). En síntesis,

CAUT1 Clase 6

8

Versión del Principio del Argumento. Sea la función F(s) dada por (1) y una curva cerrada Cs en el plano s. Sea Z el número de ceros, y P el número de polos de F(s) dentro de la regíon encerrada por Cs. Entonces, a medida que s recorre en sentido horario Cs, la curva CF mapeada por F(s) encierra Z −P veces en...