Desigualdad de Chebyshev bidimensional

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Scientia et Technica Año XVII, No 51, Agosto de 2012. Universidad Tecnológica de Pereira. ISSN 0122-1701

Desigualdad de Chebyshev bidimensional
Two - dimensional Chebyshev Inequality
Edgar Alirio Valencia, Yuri Alexander Poveda, Carlos Arturo Escudero Salcedo
Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, Colombia
evalencia@utp.edu.co
carlos10@utp.edu.coyapoveda@utp.edu.co

para todo
Resumen—En este artículo se presentan y se demuestran en
forma detallada, algunas desigualdades interesantes en
probabilidad y estadística que son consecuencia de la
desigualdad de Chebyshev.
Palabras clave—
Chebyshev.

Variable

aleatoria,

Desigualdad

y todo entero positivo .

La estimación que la desigualdad de Chebyshev da a la
}; puede sermuy
|
probabilidad del evento {|
buena. Esta probabilidad generalmente es menor que

de

y en consecuencia este valor es una buena sobre estimación de
Abstract—This article presents and demonstrates in detail
some interesting inequalities in probability and statistics that
result from Chebyshev's inequalit
Key Word — Random variable, Chebyshev Inequality

I.

|

.

Una de lasaplicaciones principales de las desigualdades de tipo
Chebyshev es el de aproximar o estimar probabilidades de la
|
forma |
por medio de calculo de cotas ver [5].

INTRODUCCIÓN

La desigualdad de Chebyshev es uno de los resultados
más importantes e interesantes en la teoría de la
probabilidad. Este resultado establece que si
es una
variable aleatoria y
es la esperanza de , la cualexiste, entonces
|
para todo
aleatoria

|

|

donde
ver [3] y [4].

es la varianza de la variable

|

La demostración de esta desigualdad se basa en la
desigualdad de Markov, la cual dice lo siguiente: Si es
una variable aleatoria, entonces

| |

Es conocido en la literatura, que si conocemos la función de
distribución de la variable aleatoria , podemos calcular su
esperanza
ysu varianza
, si estas existen.
De igual modo si conocemos dos variables aleatorias
con
su función de distribución conjunta, podemos calcular
y su matriz de covarianzas
.
Pero el problema reciproco no es cierto, es decir si conocemos
y
, no necesariamente, se puede construir la función
de distribución de la variable aleatoria
y por consiguiente
cantidades como

| |

Fecha deRecepción: 05 de Mayo de 2012
Fecha de Aceptación: 30 de Agosto de 2012

|

son muy difíciles de obtener. Igualmente para el caso de
funciones de distribuciones conjuntas de dos variables
aleatorias.
En este artículo vamos a desarrollar principalmente la
desigualdad de Chebyshev bidimensional, la cual no es muy
conocida en la literatura de la probabilidad, además es muy

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conveniente, ya que en ocasiones la estimación del valor
real de una probabilidad conjunta, suele dar información
insuficiente para nuestro objetivo, como por ejemplo, lado
derecho de la desigualdad mayor o igual a uno. En este
sentido podemos decir que entre mas pequeño sea el lado
derecho de la desigualdad másprecisa es la información de
las probabilidades. Esta desigualdad bidimensional aparece
como un problema propuesto en [8].
Además del resultado la desigualdad de Chebyshev
bidimensional vamos a presentar otros resultaos
interesantes que son consecuencia de la desigualdad de
Chebyshev.

De las Proposiciones 1 y 2, se obtiene la desigualdad de
Chebyshev, la cual dice lo siguiente:Proposición 3 (Desigualdad de Chebyshev). Si
es una
variable aleatoria y
es la esperanza de , entonces para
todo
|

|

Demostración. Si consideramos la desigualdad anterior para el
|, entonces,
caso
y la variable aleatoria |
|

II.

|

|

|

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
(

Finalmente como
Antes de hacer la demostración de la desigualdad de
Chebyshev bidimensional y presentar...