Desigualdad

Número natural
Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (el cero es el número de elementos del conjunto vacío). Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Algunos matemáticos (especialmentelos de Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero (0) como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta

Definiciones [editar]
• La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]
• Es el conjunto de los números enteros no negativos.
• Un número es un símbolo queindica una cantidad
. El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .
Propiedades de los números naturales [editar]
Los números naturalesestán totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y , entonces se cumple:


Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de por cardinales se tiene que si dados dosrepresentantes A y B de a y b respectivamente existe una aplicación inyectiva.Se demuestra fácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes A y B elegidos.
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquier subconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al de losnúmeros naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por y cumple:
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimo
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y restorespectivamente, tales que
y r < b.
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.
Uso de los números naturales [editar]
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de unelemento en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de [cardinal]. En el mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentesOperaciones con los números naturales [editar]
Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales de lectura simbólica, que se pueden realizar con un determinado conjunto numérico. los conjuntos númericos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichos conjuntos y dar como resultado de la acciónelementos que pueden estar dentro o fuera de ellos, Si la operación su resultado siempre da elementos del conjunto numérico se dice que el espacio es cerrado para dicha operación, si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces no, se dice que el espacio es abierto para dicha operación.
De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición...