Desigualdades con Valor Absoluto

Desigualdades con Valor Absoluto
En el capítulo 1 definimos el valor absoluto de un número real , que representamos por , mediante

También observamos en dicho capítulo que  representa la distanciadel origen al punto , y de forma mas general que  representa la distancia entre  y .
Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a lamultiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.
Propiedades del valor absoluto. Si  y  son números reales arbitrarios entonces
1.
2.
3. , 
4.  (Desigualdad triangular)5.  y 
La interpretación geométrica de  nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
Sea . Entonces
6.  es equivalente a 
7.  es equivalente a  o 
Gráficamente tenemos

Otrapropiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
8.  es equivalente a 
En las propiedades (6) a (8) el símbolo  puede remplazarse por.
Ejemplo 2.49. Resolvamosla desigualdad.
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo.
Ejemplo 2.50. Resolvamos ladesigualdad.
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es 
Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad.
Utilizando lapropiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de 
+
-
-
Signo de 
-
-
+
Signo de 
-
+
-
Vemos que lasolución de la desigualdad es.














FUNCION REAL

Una función real  es una función matemática cuyo dominio y condominio están contenidos en el conjunto de los números reales denotado como  , esdecir, es una función:

En general se trata de funciones continuas, o bien discontinuas cuando están representadas por tramos, a diferencia de las funciones discretas, que son siempre discontinuas....