Desigualdades con Valor Absoluto

Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad o inecuación con valor absoluto es un tipo de inecuación que contiene un valor absoluto. Un valor absoluto mide la distancia donde se encuentra unnúmero hasta 0, por ejemplo, |x| mide la distancia de x hasta 0. Las inecuaciones con valor absoluto son útiles en simetrías, límites simétricos o condiciones de borde.
Inecuaciones con valorabsoluto son muy utilizadas cuando se estudia los tipos de inecuaciones. Ellas generan dos inecuaciones que hay que desarrollar y llevar hasta la forma reducida para encontrar la solución.
Dependiendo del signode la desigualdad se tendrá solución con la unión de las inecuaciones o la intersección
El conjunto solución de una inecuación con valor absoluto viene dado por las siguientes propiedades:



•   |x|     - a < x  <  a
•   |x| > a  se expresa como:
    x < - a      U      x > a

•   |x| ≤ a  se expresa como:               
    - a  ≤ x  ≤  a
•   |x| ≥ a  seexpresa como:
    x ≤ - a      U      x ≥ a

Ejemplo 1.- Convertir las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin valor absoluto.
a) | 2x −1 |> 1;
b) | 2 − 5x |≤ 3;
Solución:
a)Usamos la forma 2.

| 2x −1 |> 1 es equivalente a 2x −1 < -1 U 2x −1 > 1.

b) Usamos la forma 3.

| 2 − 5x |≤ 3 es equivalente a − 3 ≤ 2 − 5x ≤ 3

Ejemplo 2.- Resuelva |4 -1/2x|≥7 y grafique lassoluciones.
Solución.
|4 -1/2x|≥7 equivale a 4 -1/2x≤-7 o 4-1/2x≥7
Inecuación negativa
4 -1/2x≤-7
1/2x≤-11 multiplicamos por -2
x≥ 22
En Intervalos esto sería [22 , ∞)

Inecuación positiva4-1/2x≥7
-1/2x≥3 multiplicamos por -2
x≤ -6
En intervalos esto seria (-∞ , -6]
La unión seria (-∞ , -6] U [22 , ∞)


Ejemplo 3. Resolver │4X – 1 │ ≤ 3 Para resolver esta inecuación con valorabsoluto se divide la misma en dos partes (Propiedad 1) :
La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor absoluto (4X – 1 ≤ 3) y en la segunda se cambiará el sentido del signo de...

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