DESIGUALDADES CUADRATICAS

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE.

Una desigualdad cuadrática de una variable puede adoptar cualquiera de las siguientes formas:

* ax2 + bx + c > 0
* ax2 + bx + c > 0
* ax2 + bx + c < 0
* ax2 + bx + c < 0

En todos los casos, se tiene que: a, b y c son valores reales.
Pero, “a” debe ser siempre diferente de cero.
Para hallar el conjunto solución de una desigualdadcuadrática de una variable, se requiere realizar los siguientes pasos:
1. Se resuelve la ecuación cuadrática, para ubicar los valores resultantes, sobre una recta real.
2. Se deducen los diferentes intervalos generados por la ubicación de los valores obtenidos de resolver la ecuación cuadrática.
3. A partir de esta recta real, se elabora un cuadro de variación, y se eligen valores arbitrarios dentrode cada intervalo.
4. Cada valor arbitrario se prueba en los factores obtenidos de factorizar la expresión dada, colocando en cada casilla el signo del resultado obtenido en cada caso.
5. Se deduce el conjunto solución, a partir de los signos de la última fila, que coincidan con el signo de desigualdad de la desigualdad inicial.
Ejercicios: Hallar el conjunto solución de cada una de lassiguientes desigualdades cuadráticas.

1. x2 – 8x + 15 > 0

Solución:
Primero, hay que plantear una ecuación, a partir de la desigualdad dada. Entonces, lo único que hay que hacer es reemplazar, transitoriamente, el signo de desigualdad por el de igualdad. Pero el resto de la expresión permanece inalterado.

Entonces, se tiene: x2 – 8x + 15 = 0

Para resolver esta ecuación, se factora eltrinomio de la izquierda, quedando así:

(x – 5) (x – 3) = 0 para lo cual se iguala a cero cada factor, y se despeja “x” en cada caso.


Ahora: * si x – 5 = 0  x = 5
* si x – 3 = 0  x = 3

A continuación, se ubican estos valores obtenidos, en la recta real. Al mismo tiempo, se pueden establecer cada uno de los intervalos generados por la ubicación de estos valores.

]-,3[ ]3,5[ ]5,+ [
- +
3 5

Luego, se elabora el cuadro de variación, en donde se incluyen los factores que componen a la expresión cuadrática, y valores arbitrarios en cada intervalo (que no sea algún extremo de intervalo).

- 2 3 45 6 +














x - 5






x - 3






(x – 5)(x – 3)







A continuación, los valores arbitrarios escogidos se prueban en cada uno de los factores.
Así: si x = 2  2 – 5 = – 3 cuyo resultado es negativo. En el cuadro se coloca únicamente el signo ( – ).
Si x = 4  4 – 5 = – 1 cuyo resultado es negativo. En elcuadro se coloca únicamente el signo ( – ).
Si x = 6  6 – 5 = 1 cuyo resultado es positivo. En el cuadro se coloca únicamente el signo ( + ).
Por consiguiente, los signos se ubicarán en la primera fila de casillas, quedando por el momento así:
- 2 3 4 5 6 +x - 5
-
-
+
x - 3



(x – 5)(x – 3)




Después de probar los valores arbitrarios con el factor x – 3, y llenando los espacios de la segunda fila, el cuadro va quedando así:
- 2 3 4 5 6 +














x - 5
-
-
+
x - 3
-
+
+
(x – 5)(x – 3)




Luego, seefectúan los productos entre los signos colocados en cada columna. Estas columnas representan al producto de los factores (x – 5)(x – 3) Entonces, el cuadro de variación queda de la siguiente manera:

- 2 3 4 5 6 +














x - 5
-
-
+
x - 3
-
+
+
(x – 5)(x – 3)
+
-...