Desigualdades De Chevyshov

Desigualdades de Chevyshov:
En probabilidad, la desigualdad de Chebyshov (también escrito como "Tchebycheff") es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
En la literatura, a este tipo dedesigualdades, cuya característica es la comparación de la probabilidad de la cola de la distribución y su valor esperado, se le conoce como desigualdades tipo Chevyshov.
Estas desigualdades son la herramienta básica para demostrar resultados como la Ley de los grandes números, entre otros. Además de que tienen aplicaciones en estadística, así como en otras áreas de las matemáticas.
Fórmulautilizada:
Sea  una variable aleatoria no negativa y una función  creciente tal que. Entonces  se da la desigualdad siguiente:

Casos particulares de la desigualdad
Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes:
Sea  variable aleatoria con momento de orden  finito, entonces

Siendo  y  .
Sea  con momento centrado de orden  finito, entonces

Siendo, , y  .Sea  variable aleatoria de media  y varianza finita , entonces, para todo número real ,

Sólo en caso de que  la desigualdad proporciona una cota no trivial.

Ejemplo:
Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de una empresa tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduce que al menos el 75% delos artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.
Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).
Demostración:


.
Fijémonos en que .Si ahora aplicamos la función esperanza a los dos lados de la primera desigualdad que hemosestablecido habremos demostrado el resultado.
Demostración del tercer caso particular:
Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar  definida así:

Entonces, trivialmente,

Y por lo tanto,

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

Por lo que

Pero, a su vez, dado que  sólo puede ser 0 o 1,

Lo que prueba el resultado.

Ley de los grandes números:
En la teoría de laprobabilidad, bajo el término genérico de ley de los grandes números se engloban varios teoremas que describen el comportamiento del promedio de una sucesión de variables conforme aumenta su número de ensayos.
Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converge (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatoriasinvolucradas. Las distintas formulaciones de la ley de los grandes números (y sus condiciones asociadas) especifican la convergencia de formas distintas.
Las leyes de los grandes números explican por qué el promedio de una muestra al azar de una población de gran tamaño tenderá a estar cerca de la media de la población completa.
Cuando las variables aleatorias tienen una varianza finita, el teorema centraldel límite extiende nuestro entendimiento de la convergencia de su promedio describiendo la distribución de diferencias estandarizadas entre la suma de variables aleatorias y el valor esperado de esta suma: sin importar la distribución subyacente de las variables aleatorias, esta diferencia estandarizada converge a una variable aleatoria normal estándar.
La frase "ley de los grandes números" estambién usada ocasionalmente para referirse al principio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurra al menos una vez en una serie, incrementa con el número de eventos en la serie. Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo...